Enunciado

Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:

Vértices A 1 ( 1 ,   - 4 ) e A 2 ( 1 ,   8 ) , excentricidade e = 2 3

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação é na forma x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro.
  • O semi-eixo maior é dado por a = 1 2 A 1 A 2 → ;
  • O centro C ( x c ,   y c ) é dado pelo ponto médio do segmento A 1 A 2
  • A excentricidade é dada por e = c a . Logo, o fator c é dado por c = e ∙ a
  • O semi-eixo menor é dado a 2 = b 2 + c 2           →           b 2 = a 2 - c 2

Como a coordenada que varia entre os vértices é a coordenada y , o eixo maior é paralelo ao eixo y . Logo, a 2 será denominador de y - y c 2

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los resolvendo as equações e depois jogar na equação da elipse.

Passo 2

Vamos começar determinando a medida do eixo maior.

a = 1 2 A 1 A 2 →

a = 1 2 1 ,   8 - 1 ,   - 4

a = 1 2 ( 0 ,   12 )

a = 6

Passo 3

Vamos usar a excentricidade para achar o parâmetro c .

c = e ∙ a

c = 2 3 ∙ 6

c = 4

Passo 4

Agora, temos que achar o fator b usando b 2 = a 2 - c 2 .

b 2 = a 2 - c 2

b 2 = 6 2 - 4 2

b 2 = 36 - 16

b 2 = 20

Passo 5

Os últimos fatores são as coordenadas do centro.

Como o módulo do vetor A 1 A 2 → é 12 , vamos somar o vetor ( 0 ,   6 ) ao ponto A 1 ( 1 ,   - 4 ) .

x c ,   y c = 1 ,   - 4 + 0 ,   6

x c ,   y c = 1 ,   2

Passo 6

Com todos os parâmetros, vamos jogar na equação da elipse x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1 .

x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1

x - 1 2 20 + y - 2 2 36 = 1

Passo 7

Agora, vamos “resolver” x - 1 2 20 + y - 2 2 36 = 1 para eliminar os denominadores. Para isso, vamos multiplicar a equação toda pelo produto 20 ∙ 36

20 ∙ 36 × x - 1 2 20 + y - 2 2 36 = 1 × 20 ∙ 36

36 x - 1 2 + 20 y - 2 2 = 720

36 x 2 - 2 x + 1 + 20 y 2 - 4 y + 4 = 720

36 x 2 - 72 x + 36 + 20 y 2 - 80 y + 80 = 720

36 x 2 + 20 y 2 - 72 x - 80 y + 36 + 80 - 720 = 0

36 x 2 + 20 y 2 - 72 x - 80 y - 604 = 0

1 4 × 36 x 2 + 20 y 2 - 72 x - 80 y - 604 = 0

9 x 2 + 5 y 2 - 18 x - 20 y - 151 = 0

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

9 x 2 + 5 y 2 - 18 x - 20 y - 151 = 0

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