Enunciado

Em cada caso, determine os vértices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da elipse.

  1. E : 16 x 2 + 25 y 2 = 400
  2. E : x 2 + 9 y 2 = 9
  3. E : 50 - y 2 - 2 x 2 = 0
  4. E : 3 x 2 + 4 y 2 - 12 = 0 .

Passo 1

Para podermos determinar os parâmetros como vértices, focos, e os comprimentos de eixo maior e menor, precisamos fazer um primeiro passo: colocar a equação da nossa elipse na sua forma reduzida. Isto é:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

Vamos isolar as variáveis x e y em um dos membros e no outro membro vamos deixar igual a 1. Somente após este passo podemos continuar a questão.

Portanto, temos:

50 - y 2 - 2 x 2 = 0

2 x 2 + y 2 = 50

2 x 2 + y 2 50 = 50 50

2 x 2 50 + y 2 50 = 1

x 2 50 2 + y 2 50 = 1

x 2 25 + y 2 50 = 1

Passo 2

Agora que colocamos a elipse na forma reduzida, podemos continuar a análise. Como o maior denominador está com a variável y 50 > 25 , os focos estão no eixo O y e são dados por F = 0 , ± c , sendo c = a 2 - b 2 .

Mas quem são esses a e b ? Inclusive, são eles que definem as coordenadas dos vértices A = 0 , ± a e B = ± b , 0 . E não só isso! O eixo maior tem comprimento 2 a e o eixo menor 2 b !

Eita, tudo depende desses dois parâmetros então! Mas da onde obtemos eles?

Simples, basta olhar os denominadores da nossa elipse na forma de equação reduzida. O maior denominador é a 2 e o menor denominador b 2 ! Portanto,

a 2 = 50 ⟹ a = 5 2

b 2 = 25 ⟹ b = 5

Portanto,

c = a 2 - b 2 = 50 - 25 = 25 = 5

Obs: é importante lembrarmos que os parâmetros geométricos a , b , c são sempre números positivos por definição!

Agora, é só substituirmos nas relações já discutidas. Os vértices são:

A = 0 , ± 5 2

B = ± 5,0

Os focos são:

F = 0 , ± 5

E o eixo maior tem comprimento 2 a = 10 2 e o eixo menor comprimento 2 b = 10 .

Resposta

Equação reduzida da elipse:

x 2 25 + y 2 50 = 1

Os vértices são:

A = 0 , ± 5 2

B = ± 5,0

Os focos são:

F = 0 , ± 5

E o eixo maior tem comprimento 2 a = 10 2 e o eixo menor comprimento 2 b = 10 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache uma equação da circunferência com centro em C e raio r. Escreva a equação na forma centro-raio e na forma geral. C - 1 ,1 ,r = 2
Ache o centro e o raio da circunferência e desenhe um esboço do gráfico: x 2 + y 2 - 6 ⋅ x - 8 ⋅ y + 9 = 0
Ache uma equação da circunferência com centro em C e raio r. Escreva a equação na forma centro-raio e na forma geral. C 4 ,- 3 ,r = 5
Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas. 5 x 2 + 5 y 2 - 6 x y - 3 0 2 x + 1 8 2 y + 82 = 0 ;
Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas. 9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 = 30 ;