Enunciado

Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

33. y = x 2 - 4 x + 2

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o x ou o y que está elevado ao quadrado. Como aqui é o x que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo y . E a equação reduzida vai ter a cara:

x ' 2 = 2 p y '

Sendo:

x ' = x - h

y ' = y - k

Onde h , k são as coordenadas do Vértice.

Passo 2

Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem x de um lado só e o resto do outro lado.

x 2 - 4 x = y - 2

E precisamos completar o quadrado.

SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do x e dividir por 2:

- 4 2 = - 2

E daí fazemos:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

Repare que “ x 2 - 4 x " já tem lá... Então vamos somar 4, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

x 2 - 4 x + 4 = y - 2 + 4

Podemos reescrever como:

x - 2 2 = y + 2

x - 2 2 = y + 2

Passo 3

- A equação reduzida, então vai ser:

x ' 2 = y '

E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:

h = 2

k = - 2

- O vértice fica:

V 2 , - 2

Vamos já achar o p ...

2 p = 1

p = 1 2

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é positivo (então a parábola vai ter concavidade pra cima, uma carinha feliz). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Reparei que como temos p , então p / 2 abaixo do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 acima do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

- O foco:

F 2 , - 7 4

- A equação da diretriz:

y = - 9 4

- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):

x = 2

Resposta

x ' 2 = y '

V 2 , - 2

F 2 , - 7 4

y = - 9 4

x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um vetor tangente, um vetor normal, e equações das retas tangente e normal à parábola P : x 2 = 4 p y no ponto T = h , k .
Em cada caso, escreva desigualdades que caracterizem os pontos da região focal. aE : x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 bH : - x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 cP : y 2 = - m xm0 dP : x 2 = m ym0 eP : x 2 = - m ym0
No planeta Paraboleus, uma arma parabólica circunscreve uma região plana para ataca-la com raios laser. Em cada ponto da parábola o raio é disparado na direção da reta normal, mas por um defeito na fa
Um espelho parabólico é obtido por rotação de uma parábola P em torno do seu eixo. Um raio luminoso parte do foco, atinge a superfície do espelho, e vai iluminar um ponto A de um anteparo. Determine a
São dados, graficamente, o foco e a diretriz de uma parábola, respectivamente F e r . Descreva um método de construção com régua e compasso:de pontos da parábola, baseado apenas na definição 22-16;da