Enunciado

Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

28. x 2 - 2 x - 20 y - 39 = 0

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o x ou o y que está elevado ao quadrado. Como aqui é o x que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo y . E a equação reduzida vai ter a cara:

x ' 2 = 2 p y '

Sendo:

x ' = x - h

y ' = y - k

Onde h , k são as coordenadas do Vértice.

Passo 2

Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem x de um lado só e o resto do outro lado.

x 2 - 2 x = 20 y + 39

E precisamos completar o quadrado.

SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do x e dividir por 2:

2 2 = 1

E daí fazemos:

x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

Repare que “ x 2 - 2 x " já tem lá... Então vamos somar 1, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

x 2 - 2 x + 1 = 20 y + 39 + 1

Podemos reescrever como:

x - 1 2 = 20 y + 40

x - 1 2 = 20 y + 2

Passo 3

- A equação reduzida, então vai ser:

x ' 2 = 20 y '

E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:

h = 1

k = - 2

- O vértice fica:

V 1 , - 2

Vamos já achar o p ...

2 p = 20

p = 10 → p 2 = 5

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é positivo (então a parábola vai ter concavidade pra cima, uma carinha feliz). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Reparei que como temos p , então p / 2 abaixo do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 acima do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

- O foco:

F 1 , 3

- A equação da diretriz:

y = - 7

- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):

x = 1

Resposta

x ' 2 = 20 y '

V 1 , - 2

F 1 , 3

y = - 7

x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

51. Se os eixos forem transladados para uma nova origem tendo coordenadas ( h , k ) , mostre que após a translação a equação y = s e nx torna – se y ' = As e nx ' + B cos ⁡ x ' + C , onde A, B e C são
49. A equação da diretriz de uma parábola é x + y = 0 e se foco está no ponto ( 1 ,1 ) . Ache (a) a equação do eixo da parábola, (b) as coordenadas do vértice e (c) 0 comprimento do latus rectum.
46. Suponha que a órbita de determinado cometa seja uma parábola com o Sol no foco. Quando o cometa está a 100 milhões de quilômetros do Sol, o ângulo entre o eixo da parábola e a reta do Sol até o co
54. Usando os resultados dos Exercícios 51 e 52 como referência, determine uma translação de eixos tal que a equação y = 1 2 3 s e nx + cos ⁡ x + 2 torne – se y ' = s e nx ' .
53. Usando os resultados dos Exercícios 51 e 52 como referência, determine uma translação de eixos tal que a equação y = 1 2 s e nx - cos ⁡ x - 3 torne – se y ' = s e nx ' .