Enunciado

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 3 - 1 - 3 0 2 - 3 0 0 - 1

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, a gente usa aquela fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 3 - λ - 1 - 3 0 2 - λ - 3 0 0 - 1 - λ

3 - λ - 1 - 3 0 2 - λ - 3 0 0 - 1 - λ = 0

Expandindo pela primeira coluna:

3 - λ 2 - λ - 3 0 - 1 - λ = 0

3 - λ 2 - λ - 1 - λ = 0

Resolvendo, vamos encontrar nossos três valores próprios, λ 1 = - 1 , λ 2 = 2 e λ 3 = 3 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Primeiro vamos botar λ = - 1 :

A + I v = 3 + 1 - 1 - 3 0 2 + 1 - 3 0 0 - 1 + 1 x y z = 0 0 0

4 - 1 - 3 0 3 - 3 0 0 0 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

3 y - 3 z = 0 4 x - y - 3 z = 0

Da primeira equação, y = z , e substituindo na segunda, z = x . Então o vetor próprio de λ = - 1 é da forma v = ( x , x ,   x ) .

Passo 4

Agora vamos ver λ = 2 :

A - 2 I v = 3 - 2 - 1 - 3 0 2 - 2 - 3 0 0 - 1 - 2 x y z = 0 0 0

1 - 1 - 3 0 0 - 3 0 0 - 3 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

- 3 z = 0 x - y - 3 z = 0

Daqui, z = 0 e substituindo na segunda, encontramos x = y . Então o vetor próprio de λ = 2 é da forma v = x ,   x ,   0 .

Passo 5

Falta só λ = 3 :

A - 3 I v = 3 - 3 - 1 - 3 0 2 - 3 - 3 0 0 - 1 - 3 x y z = 0 0 0

0 - 1 - 3 0 - 1 - 3 0 0 - 4 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

- 4 z = 0 - y - 3 z = 0

Desse sistema, a gente encontra y = z = 0 , e x fica livre! Então o vetor próprio de λ = 3 é da forma v = ( x ,   0 ,   0 ) .

Resposta

λ 1 = - 1 : v = x ,   x , x

λ 2 = 2 : v = x , x ,   0

λ 3 = 3 : v = ( x ,   0 ,   0 )

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