Enunciado

Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos:

P = 1 ,   1 ,   - 1                                 r : x + 2 3 = y = z

Passo 1

O exercício que que achemos o ponto simétrico de P em relação a reta r . Para isso, temos que achar a projeção Q de P sobre a reta r . Assim, vamos tomar Q = ( x ,   y ,   z ) , de modo que

Q P → = 1 ,   1 ,   - 1 - x ,   y ,   z = ( 1 - x ,   1 - y ,   - 1 - z )

Queremos que vetor seja ortogonal ao vetor diretor da reta r . Para isso, vamos achar primeiro a equação da reta r . Para y = z = 0 , temos x = - 2 . Portanto, o ponto A = ( - 2 ,   0 ,   0 ) está na reta. Já para y = z = 1 , temos x = 1 , de modo que B = ( 1 ,   1 ,   1 ) , está na reta. O vetor diretor é

u → = 1 ,   1 ,   1 - - 2 ,   0 ,   0 = ( 3 ,   1 ,   1 )

Assim,

r : X = - 2 ,   0 ,   0 + λ   ( 3 ,   1 ,   1 )

O vetor   Q P → deve ser ortogonal a u → :

1 - x ,   1 - y ,   - 1 - z ⋅ 3 ,   1 ,   1 = 0

Portanto,

3 - 3 x + 1 - y - 1 - z = 0 ⇒ z = 3 - 3 x - y

Assim,

Q = ( x ,   y ,   3 - 3 x - y )

Passo 2

Além disso, o ponto Q deve pertencer a reta r , de modo que

x ,   y ,   3 - 3 x - y = ( - 2 + 3 λ ,   λ ,   λ )

Obtemos então:

λ = y ⇒ 3 - 3 x - y = λ = y ⇒ 2 y = 3 - 3 x ⇒ y = 3 - 3 x 2

Assim,

x = - 2 + 3 λ = - 2 + 3 y ⇒ x = - 2 + 3 ⋅ 3 - 3 x 2 ⇒ 2 x = - 4 + 9 - 9 x ⇒ x = 5 11

Logo,

y = 1 2 3 - 3 ⋅ 5 11 = 1 2   33 - 15 11 = 9 11

Portanto,

Q = 5 11 , 9 11 , 3 - 15 11 - 9 11 = 5 11 , 9 11 , 9 11

Passo 3

O ponto P ' simétrico de P com relação a reta r é tal que

Q = P + P ' 2

isto é, Q é o ponto médio de P e P ' . Assim,

P ' = 2 Q - P

Portanto,

P ' = 10 11 , 18 11 , 18 11 - 1 ,   1 ,   - 1 = - 1 11 , 7 11 , 29 11

Resposta

P ' = - 1 11 , 7 11 , 29 11

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