Enunciado

Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos:

P = 0 ,   2 ,   1                                 r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

O exercício que que achemos o ponto simétrico de P em relação a reta r . Para isso, temos que achar a projeção Q de P sobre a reta r . Assim, vamos tomar Q = ( x ,   y ,   z ) , de modo que

Q P → = 0 ,   2 ,   1 - x ,   y ,   z = ( - x ,   2 - y ,   1 - z )

Queremos que vetor seja ortogonal ao vetor diretor da reta r :

- x ,   2 - y ,   1 - z ⋅ 0 ,   1 ,   - 1 = 0

Assim

2 - y - 1 + z = 0 ⇒ y = 1 + z

Logo,

Q P → = - x ,   1 - z ,   1 - z             e             Q = ( x ,   1 + z ,   z )

Passo 2

Além disso, o ponto Q deve pertencer a reta r , de modo que

x ,   1 + z ,   z = ( 1 ,   λ ,   - λ )

Assim, tiramos que x = 1 , λ = - z e

1 + z = λ = - z ⇒ 2 z = - 1 ⇒ z = - 1 2

Portanto,

Q = 1 , 1 2 ,   - 1 2

Passo 3

O ponto P ' simétrico de P com relação a reta r é tal que

Q = P + P ' 2

isto é, Q é o ponto médio de P e P ' . Assim,

P ' = 2 Q - P

Portanto,

P ' = 2 ,   1 ,   - 1 - 0 ,   2 ,   1 = ( 2 ,   - 1 ,   - 2 )

Resposta

P ' = ( 2 ,   - 1 ,   - 2 )

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Determine Q , projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r , nos casos P é o ortocentro do triângulo de vértices A = ( 2 ,1 ,- 1 ) , B = ( 1 ,- 2 ,0 ) e C = ( 12 ,6 ,- 1 ) e r é a reta determinada por
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = - 1 ,- 4 ,- 6r :x - y - z + 5 = 0 2 x - z + 4 = 0s : x - 3 2 = y - 2 3 = z 3
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = 1 ,1 ,1r : x + 3 = y - 2 2 = z - 1 3s : X = - 2 ,0 ,4 + λ( 1 ,1 ,- 1 )
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = - 2 ,2 ,- 4r : X = - 1 ,1 ,3 + λ( - 2 ,- 2 ,2 )s : X = - 2 ,4 ,4 + λ( 1 ,2 ,3 )
Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s . P = 1 ,- 2 ,- 1r : z = x - 2 y = 1 - x s : z = x - 1 y = 1 + 2 x