Enunciado

Calcule a distância do ponto de interseção de r e s ao plano determinado por t e h , sendo

r : X = 1 ,   3 ,   4 + λ 1 ,   2 ,   3                 s : X = 1 ,   1 ,   0 + λ ( - 1 ,   0 ,   1 )

t : X = 0 ,   1 ,   0 + λ 0 ,   6 ,   1                   h : x = y - 6 z + 8 = 2 x - 3

Passo 1

O que vamos fazer nesse exercício é encontrar o ponto P de intersecção de r e s , depois vamos encontrar o plano π que tem os vetores diretores das retas t e h e que passe pelo ponto ( 0 ,   1 ,   0 ) , pertencente à reta t . Aí então vamos calcular a distância entre π e P hehe

Passo 2

Encontrando a intersecção entre r e s

Um ponto genérico de r é ( 1 + λ ,   3 + 2 λ   ,   4 + 3 λ ) , e um ponto genérico de s , trocando seu parâmetro, é ( 1 - t ,   1 ,   t ) . Para encontrarmos a intersecção das retas, vamos igualar esses pontos:

1 + λ ,   3 + 2 λ   ,   4 + 3 λ = 1 - t ,   1 ,   t

Igualando as coordenadas, temos:

1 + λ = 1 - t 3 + 2 λ = 1 4 + 3 λ = t

Da segunda equação, temos λ = - 1 . Substituindo na terceira:

t = 4 - 3 = 1

Substituindo esses valores na primeira equação, o resultado condiz, então tudo certo hahaha então, o ponto P , substituindo t no ponto genérico de s , é

P = 1 - 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 3

Encontrando o plano

Primeiro vamos encontrar uma equação vetorial para h :

Temos x = y - 6 z + 8 = 2 x - 3 , ou seja:

x = 2 x - 3

x = 3

Então

y - 6 z + 8 = 3

y = 6 z - 5

Então nossa reta h pode ser escrita assim

x ,   y ,   z = ( 3 ,   6 z - 5 ,   z )

x ,   y ,   z = 3 ,   - 5 ,   0 + α . ( 0 ,   6 ,   1 )

Então, um vetor diretor de h é ( 0 ,   6 ,   1 ) , igual ao vetor diretor de t .

Passo 4

O plano que queremos vai ter um vetor normal dado pelo produto vetorial do vetor diretor ( 0 ,   6 ,   1 ) e de A B → , onde A = ( 0 ,   1 ,   0 ) é um ponto de t e B = ( 3 ,   - 5 ,   0 ) é um ponto de h .

Temos A B → = B - A = ( 3 ,   - 6 ,   0 ) , então, o vetor normal do plano que queremos é

n = ( 0 ,   6 ,   1 ) ∧ ( 3 ,   - 6 ,   0 )

n = ( 6 ,   3 ,   - 18 )

Então, nosso plano pode ser escrito assim:

6 x + 3 y - 18 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 0 ,   1 ,   0 ) , que pertence ao plano pois está na reta t

6.0 + 3.1 - 18.0 + d = 0

d = - 3

Então o nosso plano tem a equação:

π : 6 x + 3 y - 18 z - 3 = 0

Passo 5

Agora sim, sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

No nosso caso, P = ( 0 ,   1 ,   1 ) e π :   6 x + 3 y - 18 z - 3 = 0 , então

d P ,   π = 6.0 + 3.1 - 18.1 - 3 6 2 + 3 2 + ( - 18 ) ²

d P ,   π = - 18 369 = 18 3 41 = 6 41

Resposta

d P ,   π = 6 41

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