Enunciado

Caso t seja tangente a alguma elipse E de focos F 1 e F 2 , obtenha uma equação de E .

( a ) t : x - 3 y + 12 = 0   ;             F 1 = - 2,0           F 2 = ( 2,0 )

( b ) t : x - 3 y + 12 = 0   ;             F 1 = 0 , - 4           F 2 = ( 0,4 )

( c ) t : x - 3 y + 12 = 0   ;             F 1 = - 15,0           F 2 = ( 15,0 )

Passo 1

Vamos supor que a elipse tem equação igual a:

x 2 p + y 2 q = 1

E como na letra a temos um foco em x = ± 2 , portanto p > q , uma vez que os focos numa elipse sempre estão no eixo maior, então:

q + 2 2 = p

Dessa forma a equação da elipse será:

x 2 q + 4 + y 2 q = 1

Passo 2

Agora vamos encontrar os pontos P = ( h , k ) de tangência da reta t com a elipse:

h 2 q + 4 + k 2 q = 1

E aplicando o ponto na reta tangente nós teremos:

h - 3 k + 12 = 0 → h = 3 k - 12

Dessa forma:

( 3 k - 12 ) 2 q + 4 + k 2 q = 1

3 k - 12 2 q + q + 4 k 2 = q ( q + 4 )

9 k 2 - 72 k + 144 q + q + 4 k 2 = q ( q + 4 )

10 q + 4 k 2 - 72 q k + 140 q - q 2 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau nós teremos:

k 1 ; k 2 = 72 q ± 72 q 2 - 4 ( 10 q + 4 ) ( 140 q - q 2 ) 2 ( 10 q + 4 )

Fazendo Δ ser nulo (pois temos a reta tangente e só temos um valor de k para essa reta) nós teríamos:

72 q 2 - 4 10 q + 4 140 q - q 2 = 0

Isso nos dá uma equação do terceiro grau cujas raízes são:

q = 0 ; q = - 4 ; q = 14

Como q não pode ser nulo e nem pode ser negativo então q = 14 , nos dando uma equação de elipse ser igual a:

x 2 18 + y 2 14 = 1

Esse valor de q nos daria:

k = 3.5 ; h = - 1.5

Passo 3

No caso da letra b note que o ponto ( 0,4 ) pertence a reta tangente x - 3 y + 12 = 0 e como ela pertence a reta que era para ser a tangente, então isso quer dizer que ela é a secante. Portanto não existirá essa elipse

Já para os focos em x = ± 15 nós conseguimos ver tranquilamente que essa reta t atravessa o eixo x em x = - 12 ; y = 0 portanto ela atravessaria essa elipse sendo uma reta de secante nunca uma de tangente. Se quiser você pode fazer a mesma coisa que fiz para a letra a , você vai ver que não há q cujo determinante é nulo, sempre terei que ter dois valores distintos de k

Resposta

a )   x 2 18 + y 2 14 = 1

b )   N ã o   e x i s t e   a   e l i p s e   o n d e   t   é   t a n g e n t e

c )   N ã o   e x i s t e   a   e l i p s e   o n d e   t   é   t a n g e n t e

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