Enunciado

Dada a elipse E de parâmetros geométricos a , b , c , e eixo maior A 1 A 2 sejam P um ponto e Q sua projeção ortogonal sobre a reta focal. Mostre que, se P pertence à elipse, então Q pertence ao segmento A 1 A 2 e P Q → 2 = b a 2 A 1 Q → A 2 Q → .

Passo 1

Consideremos a elipse E dada por

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Consideremos um ponto P = x 0 , y 0 ∈ E . Assim,

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1

Passo 2

A projeção ortogonal de P sobre o segmento focal será o ponto P ' = x 0 ,   0 . Porém, notemos que y 0 2 ≥ 0 , de modo que

x 0 2 a 2 ≤ 1 ⟹ x 0 2 ≤ a 2 ∴ x 0 ≤ a ⟹ - a ≤ x 0 ≤ a

Como A 1 = - a ,   0 e A 2 = a ,   0 , segue que P ' deve pertencer ao segmento A 1 A 2 , já que sua abscissa está confinada no intervalo - a ,   a .

Passo 3

Vamos calcular P Q → , A 1 Q → e A 2 Q → :

P Q → = x P - x Q 2 + y P - y Q 2 = x 0 - x 0 2 + y 0 - 0 2 = y 0  

(suponha que y 0 ≥ 0 );

A 1 Q → = x A 1 - x Q 2 + y A 1 - y Q 2 = - a - x 0 2 + 0 - 0 2 = a + x 0

pois a > 0 e - a ≤ x 0 ≤ a , de modo que a + x 0 é sempre positivo. Por fim,

A 2 Q → = x A 2 - x Q 2 + y A 1 - y Q 2 = a - x 0 2 + 0 - 0 2 = a - x 0

Novamente, note que a - x 0 ≥ 0 .

Passo 4

Portanto,

A 1 Q → A 2 Q → = a + x 0 a - x 0 = a 2 - x 0 2

Porém, note que

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = 1 ⟹ x 0 2 + y 0 2 a 2 b 2 = a 2 ∴ y 0 2 a 2 b 2 = a 2 - x 0 2

De modo que

A 1 Q → A 2 Q → = y 0 2 a 2 b 2 = P Q → 2 a 2 b 2 ⟹ P Q → 2 = b a 2 A 1 Q → A 2 Q →

conforme queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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