Enunciado

Sejam r : X = 1,0 , a + λ ( a , a , 0 ) e S : 8 x 2 + 8 y 2 + 8 z 2 - 16 x + 24 y - 8 z + 19 = 0 . Determine a , em cada caso:

( a ) r é tangente a S

( b ) r é secante a S

( c ) r é exterior a S

Passo 1

Primeiramente vamos encontrar a equação reduzida da esfera, primeiramente dividindo tudo por 8:

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 3 y - z + 19 8 = 0

Isso nos dá:

x 2 - 2 x + y 2 + 3 y + z 2 - z = - 19 8

E uma forma de completar esses quadrados é:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 3 y + 9 4 + z 2 - z + 1 4 = - 19 8 + 1 + 9 4 + 1 4

Não se esquecendo que o que formos somar de um lado tem que somar do outro.

O que nos dá:

x - 1 2 + y + 3 2 2 + z - 1 2 2 = 9 8

Passo 2

E a nossa reta tem uma equação que segue uma equação igual a:

X = ( 1 + λ a ,   λ a ,   a )

Aplicando esse ponto na equação da esfera nós iremos obter:

1 + λ a - 1 2 + λ a + 3 2 2 + a - 1 2 2 = 9 8

E abrindo essa equação e colocando tudo em função de λ nós iremos ter:

2 a 2 λ 2 - 3 a λ + a 2 - a + 11 8 = 0

Passo 3

Ai aqui que começa questão pois para termos uma reta secante nós devemos fazer Δ = 0 , pois essa reta somente terá um valor de inclinação λ que tangenciará a esfera.

Δ = 3 a 2 - 4 ⋅ 2 a 2 ⋅ a 2 - a + 11 8 = 0

Δ = 9 a 2 - 8 a 4 + 8 a 3 - 11 a 2 = - 8 a 4 + 8 a 3 - 2 a 2 = 0

Cujas raízes são a = 0 e a = 1 2 , como não teremos reta em a = 0 então a = 1 / 2 é a única solução viável.

Passo 4

Agora para r secante nós devemos fazer Δ > 0 , ou seja:

- 8 a 4 + 8 a 3 - 2 a 2 > 0

Onde essa equação pode ser simplificada para:

- 8 a 2 + 8 a - 2 > 0

E esse valor simplesmente não existe, pois a = 1 / 2 nos dá um valor zero para essa equação, todos os valores de a nos dão um valor menor que zero.

Agora para r exterior basta termos - 8 a 4 + 8 a 3 - 2 a 2 < 0 e para isso temos todos os valores de a menos a = 0 e a = 1 2

Gráfico de y = - 8 a 4 + 8 a 3 - 2 a 2

Resposta

a )   a = 1 2

b )   a   n ã o   e x i s t e

c )   a ≠ 0   ; a ≠ 1 2

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