Enunciado

Obtenha uma equação que descreva o conjunto Ω , reunião das retas paralelas a u → = ( 3 , - 2,1 ) que são tangentes a superfície esférica de centro ( 1 , - 2,2 ) e raio 3

Passo 1

Imagine um ponto X = ( x , y , z ) que pertence a esse conjunto Ω junto com a reta paralela u → dada no enunciado e de forma que esse X pertence a esfera. Considere também T = ( m , n , p ) um ponto de tangência onde:

m , n , p = x , y , z + λ ( 3 , - 2,1 )

Então:

m = x + 3 λ

n = y - 2 λ

p = z + λ

E T pertence a esfera que pelo enunciado tem equação igual a:

x - 1 2 + y + 2 2 + z - 2 2 = 3

Passo 2

Aplicando então o ponto T nós iremos ter:

x + 3 λ - 1 2 + y - 2 λ + 2 2 + z + λ - 2 2 = 3

Abrindo essa equação e agrupando em termos de λ nós iremos obter:

14 λ 2 + 6 x + 2 z - 4 y - 18 λ + ( x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z + 6 )

Fazendo o determinante dessa coisa monstruosa ser nulo (por conta da tangencia) nós iremos ter:

Δ = 6 x + 2 z - 4 y - 18 2 - 4 ⋅ 14 x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z + 6 = 0

O que pode ser escrito como:

4 3 x + z - 2 y - 9 2 - 4 ⋅ 14 x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z + 6 = 0

Logo a equação será:

3 x + z - 2 y - 9 2 - 14 x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z + 6 = 0

Essa região é uma região cilíndrica e que pode ser vista abaixo (junto com a esfera):

Resposta

3 x + z - 2 y - 9 2 - 14 x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z + 6 = 0

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