Enunciado

Caso t seja tangente a alguma hipérbole H de focos F 1 e F 2 , obtenha uma equação de H .

( a ) F 1 = - 2 2 , 0           F 2 = 2 2 , 0             t : 3 x - 5 y - 4 = 0

( b ) F 1 = 0 , - 4           F 2 = 0 , 4             t : 2 x + y + 2 = 0

( c ) F 1 = - 5 , 0           F 2 = 5 , 0             t : 2 x + 3 y + 12 = 0

Passo 1

Plotando a reta e os dois pontos dos focos da letra a vemos que a reta corta a reta que liga os dois pontos, então há uma hipérbole que é tangente. E se adotarmos o ponto de tangência como T = ( h , k ) , então se aplicarmos esse ponto na equação da reta tangente vemos que:

3 h - 5 k - 4 = 0 → h = 5 k 3 + 4 3

E se a equação da hipérbole for algo da forma x 2 p + y 2 q = 1

Então a equação da reta tangente será algo como:

h x p + k y q = 1

Reescrevendo a equação tangente dada teremos:

3 x 4 - 5 y 4 = 1

Então:

h p = 3 4 ;     k q = - 5 4

Primeiro teste seria dizer que h = 3 ,   k = 5 ,   p = 4 e q = - 4 , com isso vemos que os valores de h   e k satisfazem a equação da reta tangente, então a equação dessa hipérbole, será:

x 2 4 - y 2 4 = 1

Passo 2

Plotando os dois pontos de foco e a equação de tangente da letra b vemos que existe sim uma hipérbole que tangencia essa reta.

Mesma história, dizendo que T = ( h , k ) é o ponto de tangência então:

2 h + k + 2 = 0 → k = - 2 h - 2

E a equação de tangente estará sob forma de:

h x p + k y q = 1

Arrumando a equação de t teremos:

- 2 2 x - y 2 = 1

Dessa forma:

h p = - 2 2 ;     k q = - 1 2

E se fizermos h = - 2 , k = 1 e p = 2 e q = - 2 vemos que o par ( h , k ) não bate com a equação da reta tangente.

Portanto:

p + q = 4 2 = 16

Por conta do foco, então:

p = 16 - q

E:

h = - 2 2 p

k = - q 2 → - 2 h - 2 = - q 2

h = - 2 2 ( 16 - q )

Isso nos dá um sistema igual a:

2 h = - 2 + q 2

h = - 8 2 + q 2 2

Aplicando o segundo no primeiro nós teremos:

2 - 8 2 + q 2 2 = - 2 + q 2

- 8 + q = - 2 + q 2

- 6 = - q 2 → q = 12

Portanto p = 4 , e com isso:

Agora vem uma de sinal, com esses valores poderíamos encontrar dois valores de h e k , tais como:

h p = - 2 2 ;     k q = - 1 2

h = ± 2 2 ,   k = ∓ 6

O único par que bate com a equação da reta tangente k = - 2 h - 2 será:

( 2 2 , - 6 )

Portanto na hipérbole a parte em x é negativa, nos dando uma equação igual a:

- x 2 4 + y 2 12 = 1

Passo 3

Plotando a equação da reta e os dois pontos de foco da letra c vemos que a reta t não separa os dois focos

Então não há equação de tangente para uma hipérbole com esses focos. Uma solução é ver onde essa reta está quando y = 0 .

Resposta

a )   x 2 4 - y 2 4 = 1

b ) - x 2 4 + y 2 12 = 1

c )   N ã o   e x i s t e   h i p é r b o l e

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →