Enunciado

Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule a distância focal e as medidas do eixo transverso e conjugado. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.

  1. 9 x 2 - 4 y 2 = 36
  2. 9 x 2 25 - y 2 + 9 = 0
  3. x 2 + 2 y 2 = 1
  4. - m 2 x 2 + 9 y 2 = 36 ,   m > 0
  5. 25 x 2 - 100 y 2 = 0
  6. 5 x 2 - 9 y 2 - 45 = 0
  7. x 2 - y 2 + 1 = 0
  8. x sen ⁡ φ 2 - y cos ⁡ φ 2 + 1 = 0   ( 0 < φ < π / 2 )  

Passo 1

Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Se os valores p e q tiverem sinais trocados, teremos uma hipérbole.

Os focos estarão no eixo relativo à variável positiva (denominador positivo). Por exemplo, se tivermos p > 0 e q < 0 , os focos estarão em O x e não em O y .

Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma hipérbole. Caso contrário, não temos uma hipérbole.

Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,

25 x 2 - 100 y 2 = 0

Observem que o segundo membro é igual a 0, e não igual a 1 como havíamos dito antes. Portanto, não temos uma hipérbole.

Em especial, temos um par de retas concorrentes. Para obtê-las, basta fatorar o primeiro membro. Portanto,

5 x - 10 y 5 x + 10 y = 0

Portanto, temos as retas 5 x ± 10 y = 0 .

Resposta

Não temos uma hipérbole. Em especial, temos um par de retas concorrentes.

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