Enunciado

Nos casos em que a matriz dada é ortogonal, calcule sua inversa.

Passo 1

O problema pede para identificarmos quais matrizes são ortogonais e assim calcular sua inversa. Nesse primeiro passo vamos cuidar da identificação.

Para que uma matriz seja ortogonal, suas colunas devem ser as coordenadas de uma base ortonormal. Assim, a primeira coisa que vamos verificar é se os vetores colunas tem norma 1 .

Olhando para a primeira coluna do item (a) ou para a segunda do item (b), vemos que essas matrizes já não são ortogonais. O mesmo ocorre na segunda coluna do item (f), pois ela não é normalizada. Sobraram (c), (d) e (e). Resta ver se as colunas são ortogonais entre si.

Na matriz (c), vemos que o produto escalar entre as colunas é sempre nulo, de modo que ela é ortogonal. O mesmo ocorre na (d) e na (e). Assim, as matrizes que são ortogonais são (c), (d) e (e).

Passo 2

Achar a inversa de matrizes ortogonais é muito fácil, pois ela é igual a sua trasposta. Assim, basta inverter linha com coluna. No item (c),

C = 3 2 1 2 0 - 1 2 3 2 0 0 0 1

Já no item (d),

D = 1 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0

Passo 3

Por fim, a do item (e):

E = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

Resposta

C = 3 2 1 2 0 - 1 2 3 2 0 0 0 1

D = 1 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0

E = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

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