Enunciado

Prove que as diagonais de um losango estão contidas nas bissetrizes internas dos ângulos internos.

Passo 1

Queremos provar que as diagonais de um losango estão contidas nas bissetrizes internas dos ângulos internos. Para isso, vamos visualizar primeiro um paralelogramo:

Se o paralelogramo é um losango, então

u → = v →

Para que a diagonal u → + v → seja bissetriz, o ângulo entre u → e u → + v → deve ser igual ao ângulo entre v → e u → + v → . Para isso, vamos calcular o cosseno desses ângulos!

Passo 2

Para o ângulo entre u → + v → e u → :

cos ⁡ θ 1 = u → + v → ⋅ u → u → + v → u →

Assim,

cos ⁡ θ 1 = 1 u → + v → u → ⋅ u → u → + u → ⋅ v → u → = 1 u → + v → u → + u → ⋅ v → u →

Analogamente, para o ângulo entre   u → + v → e v → :

cos ⁡ θ 2 = u → + v → ⋅ v → u → + v → v → = 1 u → + v → u → ⋅ v → v → + v → ⋅ v → v → = 1 u → + v → v → + u → ⋅ v → v →

O que temos que fazer é mostrar que essas duas expressões são iguais!

Passo 3

Como o paralelogramo do caso é um losango, sabemos que u → = v → . Assim,

u → + u → ⋅ v → u → = v → + u → ⋅ v → v →

Portanto,

cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ θ 2

Era isso que queríamos mostrar: a diagonal do losango é paralela à bissetriz do ângulo interno!

Resposta

Demonstração.

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