Enunciado

Chama-se traço de uma matriz A = a i j , quadrada de ordem n , a soma dos termos da sua diagonal principal.

Notação: t r ( A ) . Assim, t r A = a 11 + … + a n n . Sendo V = M n × x ( R ) , mostre que

A , B = t r ( B T A )

Define um produto interno sobre V .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro devemos definir o que é um produto interno em um espaço vetorial V :

O produto interno em um espaço vetorial V  é uma operação que associa a cada par de vetores e pertencentes ao conjunto  um número real tal que as seguintes propriedades são válidas:

  • u , v = v , u
  • u + w , v = u , w + v , w
  • k u , v = k u , v
  • u , v ≥ 0   e   u , v = 0   s e   e   s o m e n t e   s e   u = 0

onde k   ∈   R e u , v , w   ∈   V .

Beleza?

Vamos então verificar se todas as propriedades são válidas para A , B = t r ( B T A )

  • A , B = t r B T A = t r A B T = t r A t B = B , A (aqui tivemos que utilizar as propriedades de traço na segunda e terceira igualdade).
  • A + C , B = t r B T A + C = t r B T A + B T C = A , B + C , B
  • k A , B = t r B T k A = k t r B T A = k A , B
  • A , A = t r A T A > 0   s e   A ≠ 0

Logo, A , B = t r ( B T A )

Define um produto interno sobre V .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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