Enunciado

Encontrar a distância de u a v e o cosseno do ângulo entre u e v nos casos abaixo:

  1. u = ( 1,1 , 1,1 ) e v = ( 0,0 , 1,1 )
  2. u = 1 + t - t 2 e v = 3 t 2 com o produto considerado no exercício 18)b;
  3. A = 1 1 0 0   e B = 0 1 1 0   com o produto interno do exercício proposto n 8.

Passo 1

  1. u = ( 1,1 , 1,1 ) e v = ( 0,0 , 1,1 )
  2. Vamos lá! A distância d ( u , v ) é calculado da seguinte forma:

    d u , v = u - v = u - v , u - v

    Beleza?

    Sendo assim,

    d u , v = u - v = u - v , u - v = 1,1 , 0,0 , 1,1 , 0,0 = 2

    Agora, falta calcular o c o s θ :

    c o s θ = u , v u v

    Para isso, precisamos de

    u = u , u = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2

    E

    v = v , v = 0 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2 = 2

    Logo,

    c o s θ = u , v u v = 2 2 2 = 2 2

    Logo θ = 45 ° .

    Show de bola?

    Passo 2

  3. u = 1 + t - t 2 e v = 3 t 2 com o produto considerado no exercício 18)b;

Vamos usar o mesmo procedimento utilizado na letra A.

d u , v = u - v = u - v , u - v = 1 + t - 4 t 2 , 1 + t - 4 t 2 =

∫ 0 1 16 t 4 - 8 t 3 - 7 t 2 + 2 t + 1 d t = 16 t 5 5 - 8 t 4 4 - 7 t 3 3 + 2 t 2 2 0 1 = 16 5 - 8 4 - 7 3 + 1 = 13 15

Agora, falta calcular o c o s θ :

c o s θ = u , v u v

Para isso, precisamos de

u = u , u = 1 + t - t 2 1 + t - t 2 = ∫ 0 1 t 4 - 2 t 3 - t 2 + 2 t + 1 1 d t = t 5 5 - t 4 2 - t 3 3 + t 2 + t 0 1 = 1 5 - 1 4 - 1 3 + 2 = 97 60

Da mesma forma:

v = v , v = 3 t 2 ( 3 t 2 ) = ∫ 0 1 9 t 4 d t = 9 t 5 5 0 1 = 9 5

E

u , v = ∫ 0 1 1 + t - t 2 3 t 2 d t = ∫ 0 1 3 t 2 + 3 t 3 - 3 t 4   d t = 1 + 3 4 - 3 5 = 23 20

Portanto:

c o s θ = 23 20 97 60 9 5

c o s θ = 23 291 582

Passo 2

  1. A = 1 1 0 0   e B = 0 1 1 0   com o produto interno do exercício proposto n 8.

Vamos usar o mesmo procedimento utilizado na letra A e B.

d u , v = u - v = u - v , u - v = 1 0 - 1 0 , 1 0 - 1 0 =

t r 1 - 1 0 0 . 1 0 - 1 0 = t r 2 0 0 0 = 2

Agora, falta calcular o c o s θ :

c o s θ = u , v u v

Para isso, precisamos de

u = u , u = 1 1 0 0 , 1 1 0 0 = t r 1 0 1 0 . 1 1 0 0 = t r 1 1 1 1 = 2

Da mesma forma:

v = v , v = 0 1 1 0   , 0 1 1 0   = t r 0 1 1 0   . 0 1 1 0   = t r 1 0 0 1   = 2

E

u , v = 1 1 0 0 , 0 1 1 0 = t r 0 1 1 0 1 1 0 0 = t r 0 0 1 1 = 1

Portanto, conseguimos calcular o valor de

c o s θ = u , v u v = 1 2 2 = 1 2

Tal que θ = 60 °

Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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