Enunciado

Compare det (A_1 , ... , A_n) e det (A_1 , A_1 + A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma questão que pede para compararmos dois determinantes. É de se esperar que o segundo determinante (o bem grande), vai possui alguma relação com det (A_1 , ... , A_n) .

Cabe a nós descobrirmos que relação é esta. E para isto, nós vamos precisas trabalhar bastante com as propriedades dos determinantes. Em especial, trabalharemos com duas propriedades.

A primeira e mais importante é a linearidade em cada uma das variáveis. Isto nos vai permitir dizer que:

det (A_1 , A_1 + A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) = det (A_1 , A_1 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) + det (A_1 , A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n)

Vejam que separamos a segunda matriz (A_1 + A_2) . Mas vejam só, a gente pode continuar separando uma série de variáveis e a nossa relação irá ficar cada vez maior.

Então, é nesse momento que aplicamos a segunda propriedade. Quando tivermos dois termos iguais (duas linhas iguais), o determinante será igual a 0. Percebam só o que apareceu ao separarmos o nosso determinante:

det (A_1 , A_1 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) + det (A_1 , A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n)

No primeiro termo não aparece o termo A_1 (sozinho) duas vezes? Então, temos duas matrizes que se repetem. Portanto,

det (A_1 , A_1 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) = 0

E assim podemos escrever:

det (A_1 , A_1 + A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) = det (A_1 , A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n)

Passo 2

Agora, só nos resta continuar aplicando ambas propriedades discutidas no Passo 1 até entendermos o padrão de repetição do nosso determinante. Sendo assim, temos:

det (A_1 , A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) = det (A_1 , A_2 , A_1 , ... , A_1 + A_n) + det (A_1 , A_2 , A_3 , ... , A_1 + A_n)

Como det (A_1 , A_2 , A_1 , ... , A_1 + A_n) repete duas vezes a matriz A_1 . Então, ela é igual a 0. Logo,

det (A_1 , A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) = det (A_1 , A_2 , A_3 , ... , A_1 + A_n)

Conseguem ver que só vai sobrando a sequência A_1 , A_2 , A_3 , ... , A_n ? Pois é, este é o padrão. Com isto, podemos escrever que:

det (A_1 , A_1 + A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) = det (A_1 , A_2 , A_3 , ... , A_n)

Então, ambos os determinantes que a questão nos pede para comparar possuem exatamente o mesmo valor!

Resposta

Ambos os determinantes possuem o mesmo valor.

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Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A 2 = A, então det(A) = 1.
Mostre que se ∝ é um escalar e A é uma matriz n x n , então det ⁡ ∝ A =∝ n d e t ⁡ ( A )
Mostre que A ,n x n , é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Sejam A e P matrizesn x n , sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) .
Se A e B são matrizes nxn tais que det ⁡ A =- 2 e d e t B = 3 , calcule det ⁡ A t B - 1 .