Enunciado

Considere as bases B = u 1 ,   u 2 e B ' = u 1 ' ,   u 2 ' de R 2 , em que

u 1 = 1 0 ,           u 2 = 0 1 ,           u 1 ' = 2 1 ,           u 2 ' = - 3 4

a) Encontre a matriz de transição de B ' para B .

b) Encontre a matriz de transição de B para B ' .

c) Calcule o vetor de coordenadas w B , em que

w = 3 - 5

e use (10) para calcular w B ' .

d) Confira seu trabalho calculando w B ' diretamente.

Passo 1

Eai pessoal, partiu fazer uma questão sobre mudança de base?

Nesse exercício ele forneceu pra gente duas bases B = u 1 ,   u 2 e B ' = u 1 ' ,   u 2 ' . Nos primeiros itens queremos achar a matrizes de mudança de base P B ' → B e P B → B ' . Lembre que a matriz P A → B é construída pegando os vetores de A e escrevendo duas coordenadas em termos da base B . Daí, colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz!

Observe que, nesse caso, a base B é a base canônica, assim os vetores de B ' são expressos por

u 1 ' = 2 ,   1 B

u 2 ' = - 3 ,   4 B

Com isso, o item (a) já está pronto para gente, basta colocar essas coordenadas na coluna da matriz:

P B ' → B = 2 - 3 1 4

Passo 2

No item (b), queremos achar P B → B ' . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é 2 × 2 , vamos usar o truque:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Lembre-se que esse truque só vale para matrizes 2 × 2 . Assim, achamos a inversa rapidinho:

2 - 3 1 4 - 1 = 1 8 + 3 4 3 - 1 2 = 4 / 11 3 / 11 - 1 / 11 2 / 11

Assim,

P B → B ' = 4 / 11 3 / 11 - 1 / 11 2 / 11

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Ele fornece um vetor dado por

w = 3 - 5

Como B é a base canônica, temos que

w = 3 ,   - 5 B

Ou ainda,

w B = 3 - 5

Daí, para calcular w B ' , usamos a fórmula

w B ' = P B → B ' w B

Assim,

w B ' = 4 / 11 3 / 11 - 1 / 11 2 / 11 3 - 5

Fazendo o produto de matrizes, achamos

w B ' = - 3 / 11 - 13 / 11

Isso significa que

w = - 3 11 ,   - 13 11 B '

Passo 4

No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que

w = - 3 11 ,   - 13 11 B ' = - 3 11 u 1 ' - 13 11 u 2 '

Como u 1 ' = 2 ,   1 e u 2 ' = - 3 ,   4 , temos que

w = - 3 11 2 ,   1 - 13 11 - 3 ,   4 = - 6 11 ,   - 3 11 + 39 11 ,   - 52 11

Assim,

w = 33 11 ,   - 55 11 = 3 ,   - 5

Vemos que as contas estão certas 😊

Resposta

P B ' → B = 2 - 3 1 4

P B → B ' = 4 / 11 3 / 11 - 1 / 11 2 / 11

w B = 3 - 5

w B ' = - 3 / 11 - 13 / 11

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