Enunciado

Considere as retas x , y , z = t ( 1 ,   2 ,   - 3 ) e x , y , z =   0 ,   1 ,   2 + s ( 2 ,   4 ,   - 6 ) em R 3 . Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas e ache uma base ortonormal para este plano. Complete esta base a uma base ortonormal em R 3 .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

Retas: x , y , z = t ( 1 ,   2 ,   - 3 ) e x , y , z =   0 ,   1 ,   2 + s ( 2 ,   4 ,   - 6 ) em R 3 .

Passo 2

Primeiramente, para resolvermos esse exercício precisaremos realizar o primeiro passo, que é determinar dois vetores e dois pontos que são super necessários, saca só: V 1 = ( 1 ,   2 ,   - 3 ) e P 1 = ( 0 ,   0 ,   0 ) V 2 = ( 2 ,   4 ,   6 ) e   P 2 = ( 0 ,   1 ,   2 ) Após realizar essa definição, realizaremos o produto vetorial dos vetores V 1 ∙ V 2 : P v = V 1 ∙ V 2   P v = 1 ,   2 ,   - 3 ∙ ( 2 ,   4 ,   6 )   P v = ( 0 ,   0 ,   0 ) P v = ( 0 ,   0 ,   0 )

Passo 3

Continuando o exercício, será necessário montar uma matriz, para que possamos encontrar a expressão chave do nosso exercício, a matriz será: x y z 1 2 - 3 0 1 2

Realizando o determinante dessa matriz, encontramos a seguinte expressão: 7 x - 2 y + z .

A partir dessa expressão, podemos retirar a seguinte conclusão: Com o produto vetorial de V 1   e   V 2 , ambos os vetores é igual ao vetor nulo, então as retas são paralelas. Neste caso, os vetores V 1 e → P 1 P 2 não são colineares e paralelos ao plano necessário.

Assim, a expressão 7 x - 2 y + z = 0 é a equação que representa o plano que passa na origem, logo é um subespaço. Esse subespaço consiste na expressão chave do nosso exercício, que é:

α ,   β ,   - 7 α + 2 β = α ,   0 ,   - 7 α + ( 0 ,   β ,   2 β )

α ,   β ,   - 7 α + 2 β = α 1 ,   0 ,   - 7 + β ( 0 ,   1 ,   2 )

Passo 4

Dando seguimento no exercício, encontramos dois vetores importantes através da expressão chave, vou chamar esses vetores de “T”, mas você pode escolher a letra que quiser, lembrando que é uma escolha arbitrária. T 1 = ( 1 ,   0 ,   7 ) T 2 = ( 0 ,   1 ,   2 ) Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.Agora, precisaremos encontrar dois vetores distintos que vou chamá-los de “W”, também é uma escolha arbitrária.

Vetor: W 1

W =   T 1 W 1 =   ( 1 ,   0 ,   7 )

Vetor: W 2

W 2 =   T 2 - p r o j ( W 1 , T 2 )

W 2 = ( 0 ,   1 ,   2 ) - p r o j ( W 1 , T 2 )

W 2 = ( 0 ,   1 ,   2 ) - p r o j ( 1 ,   0 ,   7 ) ,   ( 0 ,   1 ,   2 )

W 2 = 7 25 ,     1 ,     1 25 Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “X”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.

Vetor: X 1

X 1 = W 1 n o ( W 1 )

X 1 = ( 1 ,   0 ,   7 ) n o ( 1 ,   0 ,   7 )

X 1 = 1 10 2 ,                         0 ,     - 7 10 2  

Vetor: X 2

X 2 = W 2 n o ( W 2 )

X 2 = 7 25 ,     1 ,     1 25 n o 7 25 ,     1 ,     1 25

X 2 = 7 45 3 ,                   5 9 3 ,     1 45 3  

Para finalmente, terminarmos o nosso exercício e completarmos a base ortonormal de R 3 , basta fazermos X 3 = X 1 × X 2 . X 3 = X 1 × X 2 X 3 = 7 18 6 ,     - 1 9 6 ,     1 18 6 Quaaaaaaaaaaaaaanto trabalho!!!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

X 3 = 7 18 6 ,     - 1 9 6 ,     1 18 6

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