Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini - Capítulo 4.8 - Ex. 21
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Considere o sistema linear:
Seja . Isto é, é o conjunto-solução do sistema.
- Que condições devemos impor para que seja subespaço vetorial de ?
- Nas condições determinadas em a) encontre uma base para .
- Que relação existe entre a dimensão de e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos?
Passo 1
- Para que seja subspaço, o elemento neutro deve pertencer ao conjunto solução. Ou seja deve ser solução.
- Vamos escalonar o sistema:
- O grau de liberdade é igual à dimensão do espaço de soluções.
Substituindo no sistema, temos que:
Passo 2
Disso, temos que:
Ou seja:
Substituindo na primeira equação:
Dessa forma, temos que:
Passo 3
Sim, pois seja um sistema homogêneo com grau de liberdade , então são necessárias apenas variáveis para representar seu espaço solução, isto é:
Mas isso pode ser escrito como:
Que são vetores que formam a base do subspaço das soluções.
Resposta
- ;
- Base: ;
- O grau de liberdade é igual à dimensão do espaço de soluções. Sim.
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