Enunciado

Consideremos o operador linear

e as bases A = { - 1 ,   1 ,   1 ,   0 } , B = { 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 } e C canônica. Determinar T A , T B e T C .

Passo 1

A questão forneceu uma transformação linear e pede para escrevermos a matriz de transformação em diferentes bases. Vamos fazer primeiro na base canônica:

T 1 ,   0 = 1 ,   1 C

T 0 ,   1 = 2 ,   - 1 C

Assim

T C = 1 2 1 - 1

Passo 2

Agora vamos tentar escrever T A . Para isso, vamos calcular a transformação sobre os vetores da base de A :

T - 1 ,   1 = 1 ,   - 2 C

T 1 ,   0 = 1 ,   1 C

Passando para a base A :

1 , - 2 = a   - 1 ,   1 + b   1 ,   0 = ( - a + b ,   a )

Assim, vemos que a = - 2 e b = - 1 . Logo,

T - 1 ,   1 = - 2 ,   - 1 A

Analogamente,

1 ,   1 = ( - a + b ,   a )

Logo, a = 1 e b = 2 :

T 1 ,   0 = 1 ,   2 A

Desta forma, a matriz será

T A = - 2 1 - 1 2

Passo 3

Por fim, vamos procurar T B :

T 2 , - 1 = 0 ,   3 C

T - 1 ,   1 = 1 ,   - 2 C

Escrevendo na base B :

0 ,   3 = a   2 , - 1 + b   - 1 ,   1 = ( 2 a - b ,   - a + b )

Assim,

2 a - b = 0 - a + b = 3

Resolvendo esse sistema, encontramos a = 3 e b = 6 . Assim,

T 2 , - 1 = 3 ,   6 B

Da mesma forma,

1 , - 2 = ( 2 a - b , - a + b )

Assim,

2 a - b = 1 - a + b = - 2

Resolvendo o sistema, temos a = - 1 e b = - 3 . Assim,

T - 1 ,   1 = - 1 ,   - 3 B

Portanto, a matriz de transformação nessa base será

T B = 3 - 1 6 - 3

Resposta

T C = 1 2 1 - 1

T A = - 2 1 - 1 2

T B = 3 - 1 6 - 3

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