Enunciado

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam.

A = 0 a b 0 ∈ M 2,2 ,   a , b ∈ R

Com as operações usuais.

Passo 1

Padrão! Começa a listar os oito axiomas!

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   a b u = a ( b u )

M 2 )   a + b u = a u + b u

M 3 )   a u + v = a u + a v

M 4 )   1 u = u

Não esquece que esses u , v e w podem tanto ser vetores como podem ser matrizes! Dando uma olhada na definição do conjunto, não parece ter nada de muito absurdo não. Então vamos lá testar cada axioma!

Passo 2

Vamos tomar matrizes u , v e w pra poder testar:

u = 0 a b 0

v = 0 c d 0

w = 0 e f 0

A 1 )

u + v + w = 0 a b 0 + 0 c d 0 + 0 e f 0

u + v + w = 0 a + c + e b + d + f 0

u + v + w = 0 a + ( c + e ) b + ( d + f ) 0

u + v + w = 0 a b 0 + 0 c + e d + f 0

u + v + w = 0 a b 0 + 0 c d 0 + 0 e f 0

u + v + w = u + v + w

Funcionou!

A 2 )

u + v = 0 a b 0 + 0 c d 0

u + v = 0 a + c b + d 0

u + v = 0 c + a d + b 0

u + v = 0 c d 0 + 0 a b 0

u + v = v + u

Tudo tranquilo aqui também.

A 3 )

u + 0 = 0 a b 0 + 0 0 0 0

u + 0 = 0 a + 0 b + 0 0

u + 0 = 0 a b 0

u + 0 = u

Show de bola, falta só mais uma de adição.

A 4 )

u + - u = 0 a b 0 + 0 - a - b 0

u + - u = 0 a - a b - b 0

u + - u = 0 0 0 0

u + - u = 0

Beleza, deu certinho! Agora bora pros axiomas de multiplicação!

Passo 3

Bora lá, vamos testar os quatro que faltam! Não estranha o x e y sendo os nossos escalares não! Não são as letras mais comuns, mas a gente quis manter a matriz igualzinha como estava no enunciado, beleza?

M 1 )

x y u = x y 0 a b 0

x y u = 0 x y a x y b 0

x y u = 0 x ( y a ) x ( y b ) 0

x y u = x 0 y a y b 0

x y u = x y 0 a b 0

x y u = x ( y u )

Mais uma dando certo! Bora pra próxima.

M 2 )

x + y u = x + y 0 a b 0

x + y u = 0 x + y a x + y b 0

x + y u = 0 x a + y a x b + y b 0

x + y u = 0 x a x b 0 + 0 y a y b 0

x + y u = x 0 a b 0 + y 0 a b 0

x + y u = x u + y u

Tá acabando!

M 3 )

x u + v = x 0 a b 0 + 0 c d 0

x u + v = x 0 a + c b + d 0

x u + v = 0 x a + x c x b + x d 0

x u + v = 0 x a x b 0 + 0 x c x d 0

x u + v = x 0 a b 0 + x 0 c d 0

x u + v = x u + x v

Mais uma e acabou!

M 4 )

1 u = 1 0 a b 0

1 u = 0 a b 0

1 u = u

Beleza, finalizamos. Todos os axiomas funcionam, então sim, o nosso conjunto é um espaço vetorial!

Resposta

É um espaço vetorial.

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