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Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

x 2 + y 2 - 2 y = 0

Passo 1

A questão pede para escrevermos a cônica na forma reduzida fazendo uma translação de eixos. Note que a equação não apresenta termos mistos, então pode relaxar, você não vai precisar calcular autovalores e autovetores...

Vamos completar quadrados para a variável y :

y 2 - 2 y = y 2 - 2 y + 1 - 1 = y - 1 2 - 1

Passo 2

Assim, a equação pode ser reescrita como

x 2 + y - 1 2 - 1 = 0

Portanto,

x 2 + y - 1 2 = 1

No plano x y , essa quádrica representa uma circunferência de centro ( 0 ,   1 ) e raio 1 . Porém como estamos em três dimensões, trata-se de um cilindro!

Passo 3

Fazendo a translação de eixos x → x ' e y - 1 → y ' , o cilindro pode ser reescrito como

x ' 2 + y ' 2 = 1

Resposta

x ' 2 + y ' 2 = 1

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