Enunciado

Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

x 2 + 4 y 2 - z 2 - 2 x + 16 y + 17 = 0

Passo 1

A questão pede para escrevermos a cônica na forma reduzida fazendo uma translação de eixos. Note que a equação não apresenta termos mistos, então pode relaxar, você não vai precisar calcular autovalores e autovetores...

Completando quadrados na variável x :

x 2 - 2 x = x 2 - 2 x + 1 - 1 = x - 1 2 - 1

Fazendo o mesmo com a variável y :

4 y 2 + 16 y = 4 y 2 + 4 y + 4 - 4 = 4 y + 2 2 - 16

Passo 2

Assim, a equação pode ser reescrita como

x - 1 2 - 1 + 4 y + 2 2 - 16 - z 2 + 17 = 0

Portanto,

z 2 = x - 1 2 + 4 y + 2 2

Fixando z = c , as curvas de nível da função z = f ( x , y ) são elipses. Isolando z :

z = ± x - 1 2 + 4 y + 2 2

Trata-se de um cone cujas seções são elipses.

Passo 3

Fazendo a translação de eixos x - 1 → x ' e y + 2 → y ' , a superfície cônica pode ser reescrita como

x ' 2 4 + y ' 2 - z 2 4 = 0

Resposta

x ' 2 4 + y ' 2 - z 2 4 = 0

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