Enunciado

Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la.

y 2 - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação e uma translação de eixos para obter uma equação reduzida e que não tenha termos mistos para a quádrica dada. Para isso, você deve usar o seguinte procedimento:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z = x y z   a d e d b f e f c   x y z

Assim, temos que

y 2 - 4 x z = x y z   0 0 - 2 0 1 0 - 2 0 0   x y z

Nosso objetivo vai ser diagonalizar essa matriz! Vamos procurar os autovalores:

- λ 0 - 2 0 1 - λ 0 - 2 0 - λ = 0

Assim,

- λ ⋅ 1 - λ - λ - 2 ⋅ 2 1 - λ = 0

Portanto,

1 - λ λ 2 - 4 = 0

Assim, os autovalores são

λ 1 = - 2 ,           λ 2 = 1             e             λ 3 = 2

Assim, o termo quadrático pode ser reescrito como

x ' y ' z '   - 2 0 0 0 1 0 0 0 2   x ' y ' z ' = - 2 x ' 2 + y ' 2 + 2 z ' 2

Passo 2

Agora que já temos os autovalores e resolvemos o problema dos termos quadráticos, precisamos achar os autovetores para escrever as variáveis x ,   y e z em termos de x ' ,   y ' e z ' .

Para λ 1 = - 2 :

2 0 - 2 0 3 0 - 2 0 2 a b c = 0 0 0

Da segunda linha tiramos

3 b = 0 ⇒ b = 0

Da primeira, temos

2 a - 2 c = 0 ⇒ c = a

Portanto,

u 1 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   a = a   ( 1 ,   0 ,   1 )

Para que o autovetor seja normalizado: a = 1 / 2 :

u 1 = 1 2 ,   0 ,   1 2

Já para λ 2 = 1 :

- 1 0 - 2 0 0 0 - 2 0 - 1 a b c = 0 0 0

Da primeira e terceira linha, tiramos:

a = - 2 c           e             c = - 2 a ⇒ a = c = 0

Portanto,

u 2 = a ,   b ,   c = 0 ,   b ,   0 = b   ( 0 ,   1 ,   0 )

Com b = 1 :

u 2 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Por fim, para λ 3 = 2 :

- 2 0 - 2 0 - 1 0 - 2 0 - 2 a b c = 0 0 0

Temos que

a + c = 0           e         b = 0

Logo,

u 3 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

u 3 = 1 2 , 0 , - 1 2

Assim, a matriz de mudança de coordenadas é construída com os autovetores:

x y z = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 - 1 2   x ' y ' z '

Portanto,

x = x ' 2 + z ' 2

y = y '

z = x ' 2 - y ' 2

Passo 3

Desta forma, substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores, a equação da quádrica será

- 2 x ' 2 + y ' 2 + 2 z ' 2 - 4 x ' 2 + z ' 2 + 2 y ' - 3 = 0

Agrupando os termos:

- 2 x ' 2 + y ' 2 + 2 z ' 2 - 4 x ' 2 - 4 z ' 2 + 2 y ' - 3 = 0

Agora precisamos completar quadrados para escrever a equação na forma reduzida:

- 2 x ' 2 - 4 x ' 2 = - 2 x ' 2 + 2 x ' 2 + 1 2 - 1 2 = - 2 x ' + 1 2 2 + 1

y ' 2 + 2 y ' = y ' 2 + 2 y ' + 1 - 1 = y ' + 1 2 - 1

2 z ' 2 - 4 z ' 2 = 2 z ' 2 - 2 z ' 2 + 1 2 - 1 2 = 2 z ' - 1 2 2 - 1

Portanto,

- 2 x ' + 1 2 2 + 1 + y ' + 1 2 - 1 + 2 z ' - 1 2 2 - 1 - 3 = 0

Assim,

- 2 x ' + 1 2 2 + y ' + 1 2 + 2 z ' - 1 2 2 = 4

Fazendo a translação:

x ' + 1 2 → X ,         y ' + 1 → Y           e           z ' - 1 2 → Z

Temos que

- 2 X 2 + Y 2 + 2 Z 2 = 4

Logo,

Y 2 4 + Z 2 2 - X 2 2 = 1

Trata-se de um hiperboloide de duas folhas!

Resposta

Y 2 4 + Z 2 2 - X 2 2 = 1

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. 3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. 3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 x z = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: x y + x + y = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: 9 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 + 24 x y - 40 x + 30 y = 0