Enunciado

  1. Dada uma matriz A de ordem m × n , você pode considerar as m linhas como vetores do R n e o subspaço V , de R n , gerado por estes m vetores. Da mesma forma para a matriz B , linha reduzida à forma escada de A , podemos considerar o subspaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas de A e vice-versa (basta reverter as operações com as linhas), justifique que V = W .
  2. Mostre, ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha reduzida à forma escada são LI.

Passo 1

  1. É bastante intuitivo pensar que, para que dois subspaços sejam iguais, eles devem possuir os mesmos vetores, certo?
  2. Mas, para possuir os mesmos vetores, o que é necessário? Os conjuntos geradores de ambos os subespaços devem conseguir gerar os mesmos vetores, inclusive os próprios geradores.

    Pela própria natureza das operações da redução linha à forma escada, é evidente que os vetores geradores de W são gerados, isto é, podem ser escritos como combinação linear dos vetores geradores de V .

    Disso, temos que os geradores de V geram todos os vetores de W .

    Fazendo as operações inversas, temos que todos os vetores de W geram os vetores geradores de V e, portanto, geram todos os vetores de V .

    Ou seja, todo vetor pertencente a V   o u   W pode ser gerado pelos geradores de W ou de V , do que segue que os subspaços são iguais.

    Passo 2

  3. A ideia aqui é entender que, se a matriz está em sua forma escada, então o número de zeros em suas componentes necessariamente aumenta. Começando do primeiro vetor não nulo, temos, necessariamente, que ele é da forma:

( a 11 , a 12 , … , a 1 n )

Como a 11 ≠ 0 e o número de zeros aumenta de linha para linha, temos que:

k 1 a 11 = 0 ⇒ k 1 = 0

Onde k 1 é o coeficiente do primeiro vetor na combinação linear dos vetores não nulos.

Quando formos para o segundo vetor, seja a 2 p a primeira componente não nula, então todos os elementos na coluna p abaixo de a 2 p são nulos, do que temos:

k 2 a 2 p = 0 ⇒ k 2 = 0

Procedendo dessa forma até o último vetor não nulo, temos que todos os coeficientes da combinação linear devem ser nulos.

Resposta

Demonstração.

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