Enunciado

40. Dada a parábola de equação y = - x 2 + 4 x + 5 , determinar:

a) o vértice;

b) as interseções com os eixos coordenados;

c) o gráfico;

d) o foco;

e) uma equação da diretriz.

Passo 1

(a) Como é o x que tá elevado ao quadrado, então a equação reduzida da parábola vai ter a forma:

x ' 2 = 2 p y '

Onde:

x ' = x - h

y ' = y - k

Ficando:

x - h 2 = 2 p y - k

Onde h e k são as coordenadas de adivinha o quê... isso... São as coordenadas do vértice.

Passo 2

Vamos colocar tudo que tem x na esquerdar e o resto vai pra direita:

x 2 - 4 x = - y + 5

Agora vamos precisar completar quadradozzzZZZZzzzzzZZZZzzz...

DICONA: pega o número que vem antes do x e divide por 2:

- 4 2 = - 2

E faz assim:

x + - 2 2 = x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

Ta bem parecida com a nossa equação, ne?

Então vamos somar 4, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

x 2 - 4 x + 4 = - y + 5 + 4

Reescrevendo e arrumando tudo bonitinho:

x - 2 2 = - y - 9

Então já temos os valores de h e k :

h = 2

k = 9

E o vértice fica:

V 2,9

Vamos já achar o p ...

2 p = - 1

p = - 1 2

Passo 3

b) Para achar as interseções com os eixos coordenados só precisamos:

- Achar o y quando x = 0 :

0 - 2 2 = - y - 9

y = 5

- Achar o x quando y = 0

x - 2 2 = - 0 - 9

x = - 1   o u   x = 5

Passo 4

c) Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é negativo (então a parábola vai ter concavidade pra baixo, uma carinha triste). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Repare que como temos p , então p / 2 acima do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 abaixo do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

d) O foco:

F 2 , 35 4

e) A equação da diretriz:

y = 37 4

Resposta

a)

V 2,9

b)

y = 5

x = - 1   o u   x = 5

d) F 2 , 35 4

e) y = 37 4

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Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.19. x 2 = - 12 y
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.24. x 2 + 4 x + 8 y + 12 = 0
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.27. y 2 - 16 x + 2 y + 49 = 0
Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações: y 2 - 8 x + 6 y + 17 = 0
Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações: x 2 + 2 x + 8 y - 15 = 0