Enunciado

Dada a parábola P : y 2 = 8 x , obtenha equações

( a ) da teta tangente a P no ponto ( 2 , - 4 )

( b ) da reta tangente a P , paralela a s : y = 4 x

( c ) das retas que contém o ponto ( 2,5 ) e são tangentes a P

( d ) da reta normal a P no ponto 25 2 , 10

( e ) da reta que contém o ponto 5 2 , 35 e é normal a parábola.

Passo 1

A equação 22 - 31 desse livro nos mostra que a equação de uma reta tangente a parábola de equação y 2 = 4 p x será:

k y = 2 p x + 2 p h

Então conseguimos ver que p = 2 e que h , k = ( 2 , - 4 ) pois ( h , k ) é o ponto de tangência. Logo:

- 4 y = 4 x + 8

- y = x + 2

Então a equação da reta tangente será:

y + x + 2 = 0

Passo 2

Fazendo a letra b .

O ponto de tangência tem um ponto igual a T = ( h , k ) e na equação da parábola ela fica:

k 2 = 8 h

E na equação da reta tangente ela fica (com p = 2 ) :

k y = 4 x + 4 h

Então para termos uma reta paralela a y = 4 x obrigatoriamente deveremos ter k = 1 , o que nos dá uma valor de h igual a:

1 = 8 h → h = 1 8

Portanto a equação da reta tangente será:

y = 4 x + 1 2

Ou:

2 y = 8 x + 1 → 2 y - 8 x - 1 = 0

Passo 3

Agora na letra c nós queremos que a reta tangente contenha o ponto ( 2,5 ) , ou seja:

k y = 4 x + 4 h

5 k = 8 + 4 h

Porém:

k 2 = 8 h

Então substituindo h = k 2 8 :

5 k = 8 + 4 k 2 8

k 2 2 - 5 k + 8 = 0

O que nos dá valores de k iguais a:

k 1 = 2 ; k 2 = 8

Consequentemente os valores de h serão:

h 1 = 2 2 8 = 1 2 ; h 2 = 8 2 8 = 8

Logo teremos dois pontos de tangência que serão em 1 2 , 2 e ( 8,8 ) , e portanto duas retas tangentes que serão:

k y = 4 x + 4 h

2 y = 4 x + 2 → 2 x - y + 1 = 0

e

8 y = 4 x + 32 → x - 2 y + 8 = 0

Passo 4

Agora a letra d :

Equação da reta tangente:

k y = 2 p x + 2 p h

y = 2 p k x + 2 p h k

Como m t ⋅ m n = - 1 , onde m t é o coeficiente angular da reta normal e ele vale m t = 2 p k , então:

m n = - k 2 p

Portanto a equação dessa reta será da forma:

y = - k 2 p x + c

Substituindo y = k = 10 e p = 2 e x = h = 25 2 (pois o ponto de tangência está na reta normal), logo:

10 = - 10 4 ⋅ 25 2 + c → c = 165 4

Logo a equação da normal será:

y = - 10 4 x + 165 4

4 y + 10 x - 165 = 0

Passo 5

Ufa, finalmente a letra e:

Agora o ponto x , y = 5 2 , 35 está na reta normal mas não é o ponto de tangência.

O vetor diretor de uma reta normal vale:

n → = ( - 2 p , k )

Portanto a equação normal será igual a:

y 2 = 4 p x

y y = 2 p x + 2 p x

k x + 2 p y = 2 p k + h k

E como:

k 2 = 8 h

E como x , y = 5 2 , 35 e p = 2 nós teremos:

5 k 2 + 4 ⋅ 35 = 4 k + k 3 8

k 3 8 + 4 - 5 2 k - 140 = 0

k = 10

Portanto a equação da normal fica:

10 x + 4 y = 40 + 10 3 8

10 x + 4 y = 165

4 y + 10 x - 165 = 0

Resposta

a )   y + x + 2 = 0

b )   2 y - 8 x - 1 = 0

c ) 2 x - y + 1 = 0     e     x - 2 y + 8 = 0

d )   4 y + 10 x - 165 = 0

e )   4 y + 10 x - 165 = 0

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Mostre que um espelho parabólico reflete na direção do foco os raios que incidem paralelos ao seu eixo de simetria seguindo os seguintes passos:
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