Enunciado

Dado um polinômio

p ( t ) = ( - 1 ) n ( t n + a n - 1 t n - 1 + ⋯ + a 0 )

Verifique que a matriz

⎜               0                               1                                 0                   ⋯                           0             ⎜

⎜               0                               0                                 1                   ⋯                           0             ⎜

⎜         ⋯                     ⋯                       ⋯             ⋯                       ⋯         ⎜

⎜               0                               0                                 0                   ⋯                           1             ⎜

⎜ - a 0               - a 1               - a 2             ⋯           - a n - 1       ⎜

é tal que d e t ( A - t I n ) = p ( t ) . Esta matriz é chamada matriz companheira do polinômio p ( t ) . (Sugestão: verifique para n = 2 e depois supondo que seja verdade para matrizes ( n - 1 ) × ( n - 1 ) mostre que é verdade para matrizes n × n expandindo em cofatores em relação a primeira coluna)

Passo 1

E aí, gente! Questão complicada, né? Não precisa se preocupar, vamos resolver essa juntos. Vem comigo!

Vamos começar com n = 2 , como o livro sugeriu. Nesse caso, temos

⎜               0                                   1           ⎜

⎜ - a 0               -   a 1         ⎜

Assim,

A - t I 2 =

⎜     - t                                             1                 ⎜

⎜ -   a 0               -   a 1 - t       ⎜

e

d e t ( A - t I 2 ) = t ( a 1 + t ) + a 0 = t 2 + a 1 t + a 0

⇒ ( - 1 ) 2 ( t 2 + a 2 - 1 t 2 - 1 + a 0 )

⇒ p ( t )

Belezinha, provamos para n = 2 . Agora, continua aí que vamos continuar supondo que seja verdade para matrizes ( n - 1 ) × ( n - 1 ) .

Passo 2

Bom, primeiro temos que notar que as matrizes ( n - 1 ) × ( n - 1 ) são:

⎜               0                                 1                                 0                   ⋯                             0           ⎜

⎜               0                                 0                                 1                   ⋯                             0           ⎜

⎜         ⋯                       ⋯                       ⋯             ⋯                         ⋯       ⎜

⎜               0                                 0                                 0                   ⋯                             1           ⎜

⎜ - a 0                 - a 1                 - a 2           ⋯         - a n - 2         ⎜

Pode não parecer que ela é muito diferente da matriz n × n , mas essa última teria uma coluna e uma linha a mais:

⎜                 0                                       1                                 0                       ⋯                               0                                         0                 ⎜

⎜                 0                                       0                                 1                       ⋯                               0                                         0                 ⎜

⎜           ⋯                           ⋯                       ⋯                   ⋯                         ⋯                             ⋯                 ⎜

⎜                 0                                       0                                 0                       ⋯                               1                                         0                 ⎜

⎜                 0                                       0                                 0                       ⋯                               0                                         1                 ⎜

⎜     - a 0                 - a 1                   - a 2                 ⋯               - a n - 2                 - a n - 1           ⎜

Olha só como vai ficar a matriz A - t I n :

⎜   - t                               1                                 0                       ⋯                               0                                                       0                     ⎜

⎜               0                       - t                             1                       ⋯                               0                                                       0                     ⎜

⎜         ⋯                       ⋯                       ⋯                   ⋯                         ⋯                                             ⋯               ⎜

⎜               0                                 0                                 0                       ⋯                               1                                                     0                     ⎜

⎜               0                                 0                                 0                       ⋯                   - t                                                     1                     ⎜

⎜ - a 0               - a 1                 - a 2                     ⋯                   - a n - 2                 - a n - 1 - t   ⎜

Passo 3

Ok, a nossa hipótese é que a primeira matriz satisfaz d e t ( A - t I n - 1 ) = p ( t ) . Então, vamos calcular o determinante de d e t ( A - t I n ) usando os cofatores da primeira coluna. Vemos que vários termos são iguais a zero e ficam somente dois cofatores:

d e t ( A - t I n ) =

                                            ⎜     - t                                   1                                 0                       ⋯                                           0                       ⎜

                                            ⎜                 0                       - t                                 1                       ⋯                                           0                       ⎜

- t ⋅ d e t       ⎜             ⋯                       ⋯                       ⋯                     ⋯                                     ⋯                   ⎜

                                            ⎜                 0                                   0                                 0                         ⋯                                         1                       ⎜

                                            ⎜   - a 1                   - a 2                 - a 3                   ⋯               - a n - 1 - t         ⎜

                                              ⎜             1                                 0                             0                   ⋯                           0                                 0     ⎜

                                              ⎜ - t                               1                             0                   ⋯                           0                                 0       ⎜

- a 0 ⋅ d e t       ⎜       ⋯                       ⋯                   ⋯             ⋯                       ⋯                     ⋯   ⎜

                                              ⎜             0                                 0                             0                   ⋯                           1                                 0     ⎜

                                              ⎜             0                                 0                             0                   ⋯                   - t                           1       ⎜

Vejam que o primeiro determinante é quase d e t ( A - t I n - 1 ) apenas com a n - 1 no lugar de a n - 2 e, assim sucessivamente, até chegar a a 1 no lugar de a 0 . Então, esse determinante será ( - 1 ) n - 1 ( t n - 1 + a n - 1 t n - 2 +   ⋯   +   a 1 ) . Além disso, o segundo determinante é ( - 1 ) n - 1 porque a matriz é triangular inferior, então só a multiplicação da diagonal principal contribui para o determinante.

Então,

d e t ( A - t I n ) = - t ( - 1 ) n - 1 ( t n - 1 + a n - 1 t n - 2 +   ⋯   + a 1 ) - a 0 ( - 1 ) n - 1

d e t ( A - t I n ) = ( - 1 ) n ( t n + a n - 1 t n +   ⋯   + a 1 t ) + a 0 ( - 1 ) n

d e t ( A - t I n ) = ( - 1 ) n ( t n + a n - 1 t n +   ⋯   + a 1 t + a 0 ) = p ( t )

Resumindo o que fizemos. Basicamente, fizemos uma prova por indução. Provamos que é válido para n = 2 e, assumindo que é válido para n - 1 , provamos que também é válido para n . Isso quer dizer que a relação é válida para qualquer n . Espero que tenham gostado dessa resolução e nos vemos na próxima.

Resposta

Veja a resolução acima

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir: a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32
Mostre que se A = a b c d , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?
Mostre que A, nxn, é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz nxn, então det ⁡ α A =α n det ⁡ ( A ) .
Mostre que se A^t = A^(- 1) , então det ( A ) = +- 1