Enunciado

Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:

(a) Se A 2 = - 2 A 4 , então ( I n + A 2 ) ( I n - 2 A 2 ) = I n ;

(b) Se A = P t D P , onde D é uma matriz diagonal, então A t = A ;

(c) Se D é uma matriz diagonal, então D A = A D , para toda matriz A , n × n ;

(d) Se B = A A t , então B = B t ;

(e) Se B e A são tais que A = A t e B = B t , então C = A B , é tal que C t = C .

Passo 1

E aí, galera! Tudo tranquilo? Então bora lá verificar essas afirmações:

(a) Para verificar que ( I n + A 2 ) ( I n - 2 A 2 ) = I n , vamos distribuir o lado esquerdo da equação e usar a propriedade A 2 = - 2 A 4 :

( I n + A 2 ) ( I n - 2 A 2 ) =   I n 2 + A 2 ⋅ I n - 2 I n ⋅ A 2 - 2 A 4 =   I n + A 2 - 2 A 2 + A 2 = I n

Então, a afirmação é verdadeira. De boas, né? Então vamos para a próxima!

Passo 2

(b) Para resolver essa questão, vamos calcular A t = ( P t D P ) t , lembrando que ( B C ) t = C t B t e ( B t ) t = B :

A t = ( P t D P ) t = P t D t ( P t ) t = P t D P = A

Na penúltima igualdade, usamos o fato da matriz D ser diagonal, de modo que D t = D porque, quando transpomos uma matriz, os elementos da sua diagonal permanecem no mesmo local. Assim, como a matriz D só tem elementos diferentes de zero na diagonal, a sua transposta é igual a ela mesma, entendeu? Afirmação verdadeira.

Passo 3

(c) Vamos verificar essa afirmação usando um contra-exemplo. Ou seja, vamos usar um exemplo específico para mostrar que a afirmação é falsa. Para isso, vamos usar as matrizes:

D = ⎜   1                 0       ⎜

                    ⎜   0                 2       ⎜

A = ⎜   1                 2       ⎜

                    ⎜   3                 4       ⎜

Temos

D A =         ⎜   1                 0       ⎜ ⎜   1                 2       ⎜

                                  ⎜   0                 2       ⎜ ⎜   3                 4       ⎜

D A =   ⎜   1                 2       ⎜

                            ⎜   6                 8       ⎜

Por outro lado,

A D =

⎜   1                 2       ⎜ ⎜   1                 0       ⎜

⎜   3                 4       ⎜ ⎜   0                 2       ⎜

A D = ⎜   1                 4       ⎜

                          ⎜   3                 8       ⎜

Não é difícil ver que A D ≠ D A , e esse é só um exemplo. Assim, a afirmação é falsa.

Passo 4

(d) Nessa afirmação, vamos seguir o mesmo raciocínio de (b):

B t = ( A A t ) t = ( A t ) t A t = A A t = B

Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(e) Aqui, vamos calcular C t usando as propriedades de matriz transposta e A = A t e B = B t :

C t = ( A B ) t = B t A t = B A ≠ A B = C

Então, como vocês podem ver, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira

(b) Verdadeira

(c) Falsa

(d) Verdadeira

(e) Falsa

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