Enunciado

Dado os pontos A, B no eixo E, defina a distância orientada δ ( A , B ) entre eles pondo δ A , B = d ( A , B ) se A está à esquerda de B e pondo δ A , B = - d ( A , B ) se A está à direita de B. Prove que para quaisquer pontos A, B e C do eixo E, tem-se:

δ A , B +   δ B , C +   δ C , A = 0

Passo 1

Falaa, blz? Vamos definir o que é essa tal de distância orientada.

Sabemos que:

d A , B = b - a ,     s e   b > a

d A , B = a - b ,     s e   b < a  

Usando que b é a coordenada de B e a é a coordenada de A

Passo 2

Ou seja, vamos usar que δ A , B = b - a ,     q u a n d o   b   n a   d i r e i t a   d e   a   e δ A , B = a - b ,   q u a n d o   b   e s t á   n a   e s q u e r d a   d e   a

Existem 3 casos para o ponto C:

1.Ele está na direita dos 2 pontos

2.Ele está na esquerda dos 2 pontos

3.Ele está no meio dos 2 pontos

Passo 3

Vamos provar a igualdade pedida para cada uma das 3 possibilidades, tomando que A está na esquerda de B.

1.Se C está na direita dos 2 pontos, temos que δ C , A = c - a =   - d C , A   e     δ B , C = c - b

Além disso, como A está na esquerda de B, temos δ A , B = b - a

Colocando em δ A , B +   δ B , C +   δ C , A = 0

b - a + c - b - c - a =   0

2.Se C está na esquerda dos 2 pontos, temos que δ C , A = a - c e   δ B , C = c - b

Colocando em

δ A , B +   δ B , C +   δ C , A = 0

b - a + c - b + a - c = 0

3.C no meio dos 2 pontos, logo δ A , B = b - a , δ B , C = c - b     e   δ C , A = a - c

δ A , B +   δ B , C +   δ C , A = 0

b - a + c - b + a - c = 0

Resposta

Demonstração

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