Enunciado

Dados o ponto P e a superfície esférica S de centro C e raio ρ , sejam α = d P , C e r uma reta que contém P e intercepta S nos pontos A e B (eventualmente, iguais). Seja D o simétrico de B em relação a C .

(a) Prove que P A → ∙ P B → = P D → ∙ P B →

(b) Exprima P B → e P D → como combinação linear de P C → , C B → e mostre que P D → ∙ P B → = α 2 - ρ 2 . Conclua que P A → ∙ P B → não depende de r , mas apenas de S e P . Esse número chama-se potência de P em relação a S .

(c) Mostre que o módulo da potência de P em relação a S é P A →   P B → , e que ela é positiva se P é exterior a S , negativa se P é interior, e nula se P pertence a S .

(d) Se P = x 0 , y 0 , z 0 e S: x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0 , mostre que a potência de P em relação a S é x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a x 0 + b y 0 + c z 0 + d , valor do primeiro membro se x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 .

(e) Calcule a potência de P = 1,0 , 0 em relação a S : x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 1 = 0 e obtenha dois pontos cuja potência em relação a essa mesma superfície seja 23 .

(f) Dado o número real p , descreva o lugar geométrico dos pontos de E 3 cuja potência em relação a S é p .

Passo 1

(a) Vamos tentar resolver o primeiro item com uma demonstração geométrica:

Podemos escrever uma relação entre P A → e P D → :

P A → = P D → cos ⁡ θ

E os vetores P A → e P B → são paralelos, então, pela definição do produto escalar:

P A → ∙ P B → = P A → P B → cos ⁡ 0 ° = P A → P B →

Substituindo a expresão que encontramos para P A → :

P A → ∙ P B → = P D → cos ⁡ θ P B →

Mas θ também é o ângulo que P B → forma com P D → , então esse termo do lado direito é a própria definição do produto P D → ∙ P B → . Ou seja:

P A → ∙ P B → = P D → ∙ P B →

Passo 2

E quando P estiver no interior da esfera? Aí o lado esquerdo da equação vai ser:

P A → ∙ P B → = P A → P B → cos ⁡ 180 ° = - P A → P B →

Mas o ângulo θ que nós entre P A → e P D → vai ser tal que:

cos ⁡ θ = cos ⁡ 180 ° - β = - cos ⁡ β

Ou seja:

P A → = P D → cos ⁡ θ = - P D → cos ⁡ β

Então, voltando na equação lá de cima:

P A → ∙ P B → = - P A → P B →

E substituindo P A → :

P A → ∙ P B → = - ( - P D → cos ⁡ β )   P B →

P A → ∙ P B → = P D →   P B → cos ⁡ β

Mas β é justamente o ângulo formado por P D → e P B → , então essa é a definição do produto escalar entre eles:

P A → ∙ P B → = P D → ∙ P B →

Beleza, provamos essa igualdade para os dois casos!

Passo 3

(b) Agora vamos escrever P B → como combinação linear de P C → , C B → :

P B → = P C → + C B →

E fazendo o mesmo para P D → :

P D → = P C → - C B →

Perceba que C B → é um raio da esfera! E como D está é simétrico a B , só precisamos mudar o sentido desse raio para chegar até o ponto D . Veja o desenho lá em cima!

Agora vamos fazer o produto escalar que o enunciado pediu:

P D → ∙ P B → = P C → + C B → ∙ P C → - C B →

P D → ∙ P B → = P C → ∙ P C → - C B → ∙ C B →

O produto escalar de um vetor por ele mesmo é simplesmente o quadrado da sua norma, então:

P D → ∙ P B → = P C → 2 - C B → 2

Mas o próprio enunciado diz que a distância entre P e C é α e C B → é um raio ρ da esfera, então:

P D → ∙ P B → = α 2 - ρ 2

Mas nós vimos lá em cima que:

P A → ∙ P B → = P D → ∙ P B →

Então:

P A → ∙ P B → = α 2 - ρ 2

Essa é a tal “potência de P em relação a S ”. Como esperado, ela não depende do raio r .

Passo 4

(c) Agora queremos mostrar que o módulo dessa “potência” aqui:

P A → ∙ P B → = α 2 - ρ 2

É igual a P A → P B → . Bom, pela própria definição do produto escalar:

P A → ∙ P B → = P A → P B → cos ⁡ θ

Então:

P A → P B → cos ⁡ θ = α 2 - ρ 2

Conforme a gente viu no passo 1 , quando o ponto P é exterior à esfera, então:

θ = 0 °         ⇒           cos ⁡ 0 ° = 1

E nesse caso a potência é positiva. E quando o ponto P é interior à esfera, então:

θ = 180 °           ⇒       cos ⁡ 180 ° = - 1

E nesse caso a potência é negativa!

Passo 5

(d) Quando temos uma esfera de raio ρ e centro C com essa equação geral:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

E x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas de um ponto P qualquer, então essa expressão:

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a x 0 + b y 0 + c z 0 + d

É igual a:

d P , C - ρ 2

No nosso caso temos α = d P , C , então:

x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 + a x 0 + b y 0 + c z 0 + d = α 2 - ρ 2

Que é justamente a potência do ponto P em relação à esfera S .

Passo 6

(e) Agora queremos calcular a potência do ponto P = 1,0 , 0 em relação a uma esfera que tem essa equação geral:

x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 1 = 0

Nesse caso só precisamos substituir no termo do lado esquerdo:

1 2 + 0 2 + 0 2 + 1 + 2 0 - 2 0 - 1

E o resultado dessa expressão é 1 .

Para encontrarmos dois pontos cuja potência em relação à esfera dê 23 , podemos começar escrevendo esse ponto da seguinte forma geral:

P = 0,0 , z

Então, substituindo na fórmula:

0 2 + 0 2 + z 2 + 0 + 2 0 - 2 z - 1

z 2 - 2 z - 1

Agora é só igualar isso a 23 e resolver a equação do segundo grau:

z 2 - 2 z - 1 = 23

z 2 - 2 z - 24 = 0

z = 2 ± - 2 2 - 4 1 - 24 2 1 = 2 ± 100 2

E então as duas raízes são:

z 1 = 2 + 10 2 = 6

z 2 = 2 - 10 2 = - 4

E então os dois pontos são:

P 1 = 0,0 , 6

P 2 = 0,0 , - 4

Passo 7

(f) Vamos lembrar da fórmula para a potência p de um ponto em relação a S :

p = α 2 - ρ 2

Lembrando que ρ é o raio da esfera S e α 2 é o raio da esfera formada pelo ponto P :

Ou seja, todos os pontos que tem potência p estão em uma esfera de raio α . Voltando na expressão de cima:

p = α 2 - ρ 2

α = p + ρ 2

Então o lugar geométrico dos pontos com potência P é uma esfera com centro em C e raio p + ρ 2 .

Uma obsevação importante: nos casos em que essa raiz quadrada for negativa:

p + ρ 2 < 0

p < - p 2

Então o lugar geométrico formado pelos pontos de potência p é vazio!

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

(c) Demonstração.

(d) Demonstração.

(e) A potência é 1 . Dois exemplos seriam 0,0 , - 4 e 0,0 , 6 .

(f) O lugar geométrico é uma superfície esférica de raio p + ρ 2 e centro em C . Ou, se p < - p 2 , o lugar geométrico é vazio.

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