Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .

c-Pelo método da eliminação gaussiana

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Lembrando que o método de eliminação Gaussiana é nada mais do realizar o processo um conhecido, denominado de escalonamento.

Vamos começar propondo o seguinte sistema de equações, o qual, encontra-se escalonada

a 1 x + b 1 y + c 1 z       = d 1 b 2 y + c 2 z       = d 2   c 3 z     = d 3

E lembram da definição da regra de Cramer para encontrar os determinantes,

x = D x D

y = D y D

z = D z D

E as matrizes 3 x 3 escalonadas podem ser definidos como,

D = a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3

D x = d 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3    

D y = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3      

D z = a 1 b 1 d 1 0 b 2 d 2 0 0 d 3    

Passo 2

O próximo passo seria encontrar o valor dos determinantes de cada uma das matrizes citadas no passo 1.

Assim, ficaremos os seguintes resultados,

D = a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 =   a 1 b 2 c 3

D x = d 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = d 1 b 2 c 3

D y = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3 = a 1 d 2 c 3

D z = a 1 b 1 d 1 0 b 2 d 2 0 0 d 3 = a 1 b 2 d 3

Passo 3

Agora vamos encontrar a relação dos determinantes pelas seguintes equações, x = D x D ,   y = D y D , z = D z D

Assim, temos

x = D x D = d 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = d 1 b 2 c 3 a 1 b 2 c 3

y = D y D = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3 a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = a 1 d 2 c 3 a 1 b 2 c 3

z = D z D = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3 a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = a 1 b 2 d 3 a 1 b 2 c 3

Resposta

Então, podemos concluir e encontrar os valores dos determinantes de uma matriz 3x 3 a partir da definição de Cramer com a eliminação gaussiana ou processo de escalonamento.

x = D x D = d 1 b 2 c 3 a 1 b 2 c 3 ,   y = D y D = a 1 d 2 c 3 a 1 b 2 c 3   , z = D z D = a 1 b 2 d 3 a 1 b 2 c 3

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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