Enunciado

Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .

c-Pelo método da eliminação gaussiana

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Lembrando que o método de eliminação Gaussiana é nada mais do realizar o processo um conhecido, denominado de escalonamento.

Vamos começar propondo o seguinte sistema de equações, o qual, encontra-se escalonada

a 1 x + b 1 y + c 1 z       = d 1 b 2 y + c 2 z       = d 2   c 3 z     = d 3

E lembram da definição da regra de Cramer para encontrar os determinantes,

x = D x D

y = D y D

z = D z D

E as matrizes 3 x 3 escalonadas podem ser definidos como,

D = a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3

D x = d 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3    

D y = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3      

D z = a 1 b 1 d 1 0 b 2 d 2 0 0 d 3    

Passo 2

O próximo passo seria encontrar o valor dos determinantes de cada uma das matrizes citadas no passo 1.

Assim, ficaremos os seguintes resultados,

D = a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 =   a 1 b 2 c 3

D x = d 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = d 1 b 2 c 3

D y = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3 = a 1 d 2 c 3

D z = a 1 b 1 d 1 0 b 2 d 2 0 0 d 3 = a 1 b 2 d 3

Passo 3

Agora vamos encontrar a relação dos determinantes pelas seguintes equações, x = D x D ,   y = D y D , z = D z D

Assim, temos

x = D x D = d 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = d 1 b 2 c 3 a 1 b 2 c 3

y = D y D = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3 a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = a 1 d 2 c 3 a 1 b 2 c 3

z = D z D = a 1 d 1 c 1 0 d 2 c 2 0 0 c 3 a 1 b 1 c 1 0 b 2 c 2 0 0 c 3 = a 1 b 2 d 3 a 1 b 2 c 3

Resposta

Então, podemos concluir e encontrar os valores dos determinantes de uma matriz 3x 3 a partir da definição de Cramer com a eliminação gaussiana ou processo de escalonamento.

x = D x D = d 1 b 2 c 3 a 1 b 2 c 3 ,   y = D y D = a 1 d 2 c 3 a 1 b 2 c 3   , z = D z D = a 1 b 2 d 3 a 1 b 2 c 3

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A e P matrizesn x n , sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) .
Se A e B são matrizes n x n tais que det (A) = - 2 e d e t (B) = 3 , calcule det (A^t B^(- 1)) .
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 + a 1 2 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 2 1 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 3 1 - a 32 a 33
Calcule o determinante das matrizes a seguir:a)[[[e^(r t),t,e^(r t)],[r,e^(r t),(,1,+,r,t,),e^(r t)]]]
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32