Enunciado

Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .

a-Pela Regra de Cramer, calculando os determinantes a partir da definição;

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Vamos começar propondo o seguinte sistema de equações,

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3

E lembram da definição da regra de Cramer para encontrar os determinantes,

x = D x D

y = D y D

z = D z D

E as matrizes 3 x3 podem ser definidos como,

D = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

D x = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3

D y = a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3

D z = a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3

Passo 2

O próximo passo seria encontrar o valor dos determinantes de cada uma das matrizes citadas no passo 1.

Assim, ficaremos os seguintes resultados,

D = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 =   a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

D x = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 = d 1 b 2 c 3 + b 3 d 2 c 1 + d 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   d 3 - c 3 b 1 d 2 - d 1 c 2 b 3

D y = a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 = a 1 d 2 c 3 + d 3 a 2 c 1 + a 3 d 1 c 2 - c 1 d 2   a 3 - c 3 d 1 a 2 - a 1 c 2 d 3

D z = a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 = a 1 b 2 d 3 + b 3 a 2 d 1 + a 3 b 1 d 2 - d 1 b 2   a 3 - d 3 b 1 a 2 - a 1 d 2 b 3

Passo 3

Agora vamos encontrar a relação dos determinantes pelas seguintes equações , x = D x D ,   y = D y D , z = D z D

Assim, temos

x = D x D = d 1 b 2 c 3 + b 3 d 2 c 1 + d 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   d 3 - c 3 b 1 d 2 - d 1 c 2 b 3 a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

y = D y D = a 1 d 2 c 3 + d 3 a 2 c 1 + a 3 d 1 c 2 - c 1 d 2   a 3 - c 3 d 1 a 2 - a 1 c 2 d 3 a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

z = D z D =   a 1 b 2 d 3 + b 3 a 2 d 1 + a 3 b 1 d 2 - d 1 b 2   a 3 - d 3 b 1 a 2 - a 1 d 2 b 3 a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

Resposta

Então, podemos concluir e encontrar os valores dos determinantes de uma matriz 3x3 a partir da definição de Cramer,

x = D x D = d 1 b 2 c 3 + b 3 d 2 c 1 + d 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   d 3 - c 3 b 1 d 2 - d 1 c 2 b 3 a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

y = D y D = a 1 d 2 c 3 + d 3 a 2 c 1 + a 3 d 1 c 2 - c 1 d 2   a 3 - c 3 d 1 a 2 - a 1 c 2 d 3 a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

z = D z D =   a 1 b 2 d 3 + b 3 a 2 d 1 + a 3 b 1 d 2 - d 1 b 2   a 3 - d 3 b 1 a 2 - a 1 d 2 b 3 a 1 b 2 c 3 + b 3 a 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 - c 1 b 2   a 3 - c 3 b 1 a 2 - a 1 c 2 b 3

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se A^t = A^(- 1) , então det (A) = +- 1 .
Mostre que se A k = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.
Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A 2 = A, então det(A) = 1.
Mostre que se prop é um escalar e A é uma matriz n x n , então det (prop A) = prop^n d e t ( A )
Mostre que A ,n x n , é invertível se, e somente se, A t A é invertível.