Enunciado

Usando a transposta mT, mostre que, se detm 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Lembrando que a matriz I3 é uma matriz identidade de ordem 3, e que pode ser escrita como,

I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

E mostrar o que se pede na questão, vamos escolher uma matriz m simples de ordem 3. Essa matriz, vai ser expressa,

m = 1 0 1 0 1 0 0 0 1    

E a mT,

m T = 1 0 0 0 1 0 1 0 1    

E com o determinante da matriz m igual a 1.

Passo 2

O próximo passo é resolver a equação proposta na questão e descobrir qual o valor da matriz p.

p m = I 3  

x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3     . 1 0 1 0 1 0 0 0 1     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1    

x 1 x 2 x 1 + x 3 y 1 y 2 y 1 + y 3 z 1 z 2 z 1 + z 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1    

Com isso em mente, é possível encontrar um sistema de equações para determinar os coeficientes da matriz m.

O sistema é montado igualando os termos das matrizes, visto que se trata de uma igualdade.

x 1 = 1 ;           x 2 = 0 ;               x 1 + x 3 = 0

y 1 = 0 ;       y 2 = 1 ;         y 1 + y 3 = 0

z 1 = 0 ;         z 2 = 0 ;         z 1 + z 3 = 1 ;

Passo 3

Como no passo anterior igualando os termos foi possível encontrar alguns coeficientes, neste passo vamos os valores de x 3 ,   y 3   e   z 3 .

x 1 + x 3 = 0

Sendo x 1 = 1 ,

x 3 = - 1

Para,

y 1 + y 3 = 0

Sendo y 1 = 0 ,

y 3 = 0

Para,

z 1 + z 3 = 1 ;

Sendo z 1 = 0 ,

z 3 = 1 ;

Resposta

Então, podemos concluir efetuando a multiplicação entres as matrizes, os valores dos coeficientes da matriz p,

p = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1    

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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