Enunciado

Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i →

  1. u →

Passo 1

Vamos primeiro ver quem são os nossos vetores:

i → = ( 1,0 )

u → = i → - j → = ( 1 , - 1 )

Como a questão pede para determinar o módulo e o ângulo que o nosso vetor forma com o vetor i → , temos que lembrar como calculamos esse módulo e o ângulo:

O módulo do vetor se calcula desse jeito aqui

u → = x 2 + y 2

E o ângulo entre vetores é calculado a partir dessa fórmula:

c o s θ = u → ⋅ i → u → | i → |    

E só um último bizu antes de começarmos a botar a mão na massa é lembrar como fazemos esse produto escalar!

u → ⋅ i → = x u * x i + y u * y i

Passo 2

Vamos começar calculando os módulos de u → e i →

u → = 1 2 + - 1 2

| u → | = 2

Então aqui já temos a primeira parte da nossa resposta!

i → = 1 2 + 0 2

i → = 1

Passo 3

Agora vamos achar o produto escalar u → ⋅ i →

u → ⋅ i → = 1 * 1 + - 1 * 0

u → ⋅ i → ´ = 1

Passo 4

Por último, é só juntar tudo que a gente achou na fórmula do c o s θ

c o s θ = 1 2 * 1

c o s θ = 1 2

c o s θ = 2 2

E quando c o s θ é igual a isso, temos que θ é:

θ = 45 °

Resposta

u → = 2

θ = 45 °

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As retas que contêm alturas de um triângulo são concorrentes num ponto, chamado ortocentro do triângulo. (Este resultado foi objeto do Exercício 5-21. Sua verificação, com o auxílio da Relação de Eule
Sejam a → e b → nao-nulos.(a) Prove que p r o j v → p r o j u → v → = u → . v → 2 u → 2 v → 2 v → .
Sejam a → e b → nao-nulos.(b) Enuncie uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → e a de b → sobre a → tenham normas iguais.
(b) Se um tetraedro tem dois pares de arestas opostas ortogonais, as duas retas restantes são ortogonais.
Sejam a → e b → nao-nulos.(c) Prove: p r o j a → v → = p r o j b → v → ⇔ a → ∥ b → ou ( a → ⊥ v →eb → ⊥ v → ) .