Enunciado

As retas que contêm alturas de um triângulo são concorrentes num ponto, chamado ortocentro do triângulo. (Este resultado foi objeto do Exercício 5-21. Sua verificação, com o auxílio da Relação de Euler, fica muito simplificada).

Passo 1

Bora lá!

Para confirmamos a existência do ortocentro de um triângulo, primeiramente, vamos considerar os pontos A, B, C e D dispostos como mostra a nossa figura:

Notem, que no nosso triângulo, há apenas as alturas relativas à dois vértices, B e C, e o ponto de intersecção destas, D.

Dessa forma, devemos mostrar que, ao traçarmos a terceira altura, sendo esta relativa ao vértice A, teremos novamente, a intersecção com o ponto D, beleza?

Então, partiu.

Passo 2

Para tanto, se nós considerarmos os lados desse triângulo como vetores, podemos notar que, obrigatoriamente, seus ponto devem obedecer a Relação de Euclides da letra (a). Dessa forma, escreveremos tal relação, levando em consideração que, devido aos ângulos retos, C D → . A B → = 0 e B D → . C A → = 0 . Temos, então:

A B → . C D → + B C → . A D → + C A → . B D → = 0

0 + B C → . A D → + 0 = 0

B C → . A D → = 0

Passo 3

Portanto, concluímos que a altura relativa ao vértice A intercepta, de fato, o ponto D, o ortocentro do triângulo. 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dados os pontos A 4 , 0 , - 1 ,B ( 2 , - 2,1 ) e C ( 1,3 , 2 ) e os vetores u → = ( 2,1 , 1 ) e v → = ( - 1 , - 2,3 ) , obter o vetor x → tal que: B C - . v → x → = u → . v → v → - 3 x →
Determinar o vetor v → do espaço, sabendo que v → = 5 , v → é ortogonal ao eixo O x , v → . w → = 6 e w → = i → + 2 j → .
Dados os vetores u → = ( 1,2 , - 3 ) , v → = 2,0 , - 1 e w → = ( 3,1 , 0 ) , determinar o vetor x → tal que x → . u → = - 16 , x → . v → = 0 e x → . w → = 3 .
Dados os vetores u → = ( 2 , - 3 , - 1 ) e v → = ( 1 , - 1,4 ) c) u → + v → * ( u → - v → )
Dados os vetores u → = ( 2 , - 3 , - 1 ) e v → = ( 1 , - 1,4 ) d) u → + v → * ( v → - u → )