Enunciado

Dados pi_1 : X = (1 , - 2 , 0) + lambda (1 , 0 , - 1) + mu ( 0 , 0 , - 1 ) e pi_2 : X = (1 , 0 , 3) + lambda (1 , 2 , 0) + mu ( - 1 , 1 , - 1 ) , obtenha uma equação vetorial de pi_1 nn pi_2 .

Passo 1

O exercício fornece a equação vetorial de dois planos e quer a equação vetorial da intersecção deles, que deve ser uma reta.

Para isso, vamos achar os vetores normais de cada plano. Para o plano pi_1 , os vetores diretores são

vec u_1 = (1 , 0 , - 1) e vec v_1 = ( 0 , 0 , - 1 )

Desta forma, o vetor normal é

vec n_1 = vec u_1 ^^ vec v_1 = |[[vec i,vec j,vec k],[1,0,-,1],[0,0,-,1]]| = (0 - 0) vec i + (0 + 1) vec j + (0 - 0) vec k = ( 0 , 1 , 0 )

Já para pi_2 :

vec u_2 = (1 , 2 , 0) e vec v_2 = ( - 1 , 1 , - 1 )

Assim,

vec n_2 = vec u_2 ^^ vec v_2 = |[[vec i,vec j,vec k],[1,2,0],[-,1,1,-,1]]| = (- 2 - 0) vec i + (0 + 1) vec j + (1 + 2) vec k = ( - 2 , 1 , 3 )

Passo 2

A interesecção dos dois planos é uma reta cujo vetor diretor é o produto vetorial dos vetores normais dos planos:

vec u = vec n_1 ^^ vec n_2 = |[[vec i,vec j,vec k],[0,1,0],[-,2,1,3]]| = (3 - 0) vec i + (0 - 0) vec j + (0 + 2) vec k = ( 3 , 0 , 2 )

Assim, a equação da reta é do tipo

X = P + lambda vec u = P + lambda ( 3 , 0 , 2 )

Falta acharmos um ponto P que pertença a ela!

Passo 3

Nosso objetivo agora é achar um ponto P que pertença as dois planos. Para isso, vamos escrever suas equações na forma

pi_1 : {[[x = 1 + lambda_1],[y = - 2],[z = - lambda_1 - mu_1]]) pi_2 : {[[x = 1 + lambda_2 - mu_2],[y = 2 lambda_2 + mu_2],[z = 3 - mu_2]])

Bom, como em pi_1 temos sempre y = - 2 , temos, em pi_2 :

2 lambda_2 + mu_2 = - 2 => mu_2 = - 2 - 2 lambda_2 => {[[x = 3 + 3 lambda_2],[y = - 2],[z = 5 + 2 lambda_2]])

Vamos tentar ver o que acontece se colocarmos lambda_2 = 0 : x = 3 e z = 5 . Temos que verificar se isso é possível no plano pi_1 :

x = 3 => 1 + lambda_1 = 3 => lambda_1 = 2

Assim,

z = 5 => - 2 - mu_1 = 5 => mu_1 = - 7

Portanto, o ponto ( 3 , - 2 , 5 ) pertence aos dois planos e, consequentemente, pertence a intersecção! Assim, vamos tomar P = ( 3 , - 2 , 5 ) . É importante deixar claro que existem outros pontos que você poderia usar aqui, de modo que a resposta não é única.

A equação da intersecção pi_1 nn pi_2 é

X = (3 , - 2 , 5) + lambda ( 3 , 0 , 2 )

Se fizermos lambda -> lambda - 1 chegamos na resposta do livro, que também é válida, assim como muitas outras!

Resposta

X = (3 , - 2 , 5) + lambda ( 3 , 0 , 2 )

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