Enunciado

Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,   1 ,   1 + λ   1 ,   1 ,   0 + μ   ( 2 ,   - 1 ,   m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.

Passo 1

Para analisar a posição relativa de dois planos, temos que analisar seus veotres normais. Para o plano π 1 , temos que

n → 1 = ( 2 ,   1 ,   3 )

Já para o plano π 2 , temos que fazer o produto vetorial dos vetores diretores:

n → 2 = 1 ,   1 ,   0 ∧ 2 ,   - 1 ,   m = i → j → k → 1 1 0 2 - 1 m = m ,   - m ,   - 3

Passo 2

Note que impossível o vetor n → 1 ser paralelo a n → 2 , de modo que os planos não podemo ser paralelos. Sendo assim, para qualquer valor de m , os planos são concorrentes!

Resta verificar se eles podem ser perpendiculares! Para isso, o produto escalar dos vetores normais deve ser nulo:

n → 1 ⋅ n → 2 = 0 ⇒ 2 ,   1 ,   3 ⋅ m ,   - m ,   - 3 = 0 ⇒ 2 m - m - 9 = 0 ⇒ m = 9

Assim, para m = 9 os planos são perpendiculares!

Resposta

Os planos são sempre concorrentes. Para m = 9 eles são perpendiculares.

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Determinar n de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares: b) π 1 : m x + y - 3 z - 1 = 0e π 2 : 2 x - 3 m y + 4 z + 1 = 0
Determinar n de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares: b) π 1 : x = 2 - h + 2 t y = 2 h + 3 z = t - 2 h + 1 e π 2 : 2 m x + 4 y - z - 1 = 0
Representar graficamente os planos de equações:b) 6 x + 4 y - 3 z - 12 = 0
Representar graficamente os planos de equações: 3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0
31. Representar graficamente os planos de equações:g) y + 4 = 0