Enunciado

Dados os pontos distintos A = (a, b, c), A ′ = (a ′, b′, c′) e o número d > 0, mostre que existem, na reta AA′, 0, 1 ou 2 pontos P tais que d (O, P) = d. Se existir exatamente um ponto P com d (O, P) = d, mostre que os segmentos de reta OP e AA′ são ortogonais.

Passo 1

O ponto P pode estar em uma reta concorrente, paralela ou pode fazer parte da própria reta. Vamos pegar as equações paramétricas da reta AA’, que nos dão os pontos da reta.

x t =   a   +   t a ' - a

y t   =   b   +   t b ' - b

z t =   c   +   t ( c   ' -   c )

E agora as paramétricas de OP, sendo o ponto P = (m, n, k).

x p = p m

y p = p n

z p = p k

Caso ao montarmos o sistema de equações, os parâmetros p e t apresentem uma única solução, as retas são concorrentes, e dessa forma só existe um ponto P na reta AA’.

Se p e t não apresentarem solução as retas são paralelas e não existe nenhum ponto P na reta AA’

E se o sistema apresentar mais de uma solução, então OP e AA’ são a mesma reta com distância d > 0.

Passo 2

Dados os pontos A = a , b , c ,   A ' = a ' , b ' , c ' ,   P = m , n , k ,   O = ( 0,0 , 0 ) , ao tomarmos os pontos das paramétricas A ' ' = ( a ' - a , b ' - b , c ' - c ) e P ' ' = - m , - n , - k se OA’’ e OP’’ forem perpendiculares, isto é,

a ' - a - m + b ' - b - n + c ' - c - k = 0

Então AA’ e OP são ortogonais.

Resposta

Demonstração.

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