Enunciado

Dados quatro pontos quaisquer A , B , C   e   D no plano, ponha u = A B → , v = B C → , w = C D → , portanto u + v = A C ,   v + w = B D →   e   u + v + w = A D → . Conclua então que

A B → , C D → + A C → , D B → + A D → , B C → = 0

Suponhamos, em seguida, que D seja o ponto de encontro das alturas do triângulo ABC que partem dos vértices B e C, de modo que AB ⊥ CD e AC ⊥ DB. Deduza que AD ´e perpendicular a BC e conclua daí que as três alturas do triângulo ABC se encontram no mesmo ponto D.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Nesse exercício dados quatro pontos quaisquer A , B , C   e   D no plano, ponha u = A B → , v = B C → , w = C D → , portanto u + v = A C ,   v + w = B D →   e   u + v + w = A D → . Conclua então que

A B → , C D → + A C → , D B → + A D → , B C → = 0

Suponhamos, em seguida, que D seja o ponto de encontro das alturas do triângulo ABC que partem dos vértices B e C, de modo que AB ⊥ CD e AC ⊥ DB. Deduza que AD ´e perpendicular a BC e conclua daí que as três alturas do triângulo ABC se encontram no mesmo ponto D.

Precisa fazer esta carinha não que ela parece difícil mais é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

A B → , C D → + A C → , D B → + A D → , B C → = 0

Com,

u = A B → , v = B C → ,   w = C D →

para,

u + v = A C ,     v + w = B D →     e     u + v + w = A D →

Temos,

u , w + u + v , v + w + [ u + v + w + v ]

Ficando,

AD ⊥ BC

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

AD ⊥ BC

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