Enunciado

Dados os vetores u → = 2 ,   1 ,   0 e v → = ( 3 , - 6 ,   9 ) , determinar o vetor x → que satisfaz a relação v → = u → × x → e que seja ortogonal ao vetor w → = ( 1 , - 2 ,   3 ) .

Passo 1

Agora, vamos ver se vocês estão caprichando nos estudos. Sendo os vetores u → = 2 ,   1 ,   0 e v → = ( 3 , - 6 ,   9 ) , determinar o vetor x → que satisfaz a relação v → = u → × x → e que seja ortogonal ao vetor w → = ( 1 , - 2 ,   3 ) .

Antes de colocarmos a mão na massa, vamos denotar nosso vetor x → como x → = ( x ,   y ,   z ) .

E que lembrar que para x → ser ortogonal ao vetor w → , a seguinte fórmula x → . w → = 0 tem que ser satisfeita, beleza? Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Inicialmente, precisamos que a seguinte relação v → = u → × x → seja satisfeita, portanto:

u → × x → = i → j → k → 2 1 0 x y z = - z i → - 2 z j → + ( 2 y - x ) k → = z ,   - 2 z , 2 y - x

Como v → = u → × x → , temos

( 3 , - 6 ,   9 ) = z ,   - 2 z , 2 y - x

z = 3

2 y - x = 9         ( I )

Passo 3

Como já vimos x → . w → = 0 , logo:

x ,   y ,   z = 1 , - 2 ,   3 = 0

x - 2 y + 3 z = 0 ⇒ x - 2 y + 9 = 0 ⇒ x - 2 y = - 9         ( I I )

Como I = ( I I ) :

x = 2 y - 9

Portanto, x → = x ,   y ,   z = ( 2 y - 9 ,   y ,   3 ) . 😉

Resposta

x → = ( 2 y - 9 ,   y ,   3 )

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