Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → R ,     T x , y = x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = x . Vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) :

T u + v = T a + c ,   b + d = a + c

Assim,

T u + v = a + c = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b = λ a = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?b) Determinar a imagem, uma base para esse
Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?b) Determinar a imagem, uma base para esse
Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?b) Determinar a imagem, uma base para esse
Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão donúcleo e da imagem:(a) F :R 3 → R dada por F x ,y ,z = x + y - z .(b) F :R 2 → R 2 dada por Fx ,y = 2 x ,x + y .(c)
17. Suponha que T : V → V seja um operador linear e B uma base de V tal que T x B = x 1 - x 2 + x 3 x 2 x 1 - x 3 se x B = x 1 x 2 x 3 Encontre T B .