Enunciado

Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   P 1 → R 3 ,         T a t + b = ( a ,   2 a ,   a - b )

Passo 1

A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear T .

O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos

T a t + b = ( 0,0 , 0 )

Fazendo isso, obtemos o sistema

a = 0 2 a = 0 a - b = 0

Esse sistema tem uma única solução que é a = b = 0 . Assim, o núcleo é composto apenas pelo polinômio identicamente nulo:

N T = { 0 }

Assim, a dimensão do núcleo é zero:

dim ⁡ N ( T ) = 0

Portanto, como a dimensão do núcleo é nula, T é injetora.

Passo 2

Agora vamos procurar a imagem de T . Para isso:

T a t + b = a 1 ,   2 ,   1 + b ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Assim, vemos que imagem de T é gerada pelo conjunto B = 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   0 ,   - 1 . Pelo teorema da dimensão:

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ P 1 = 2

Como dim ⁡ N ( T ) = 0 , segue que

dim ⁡ I m T = 2

Como a dimensão da imagem de T é dois e o conjunto gerador B tem dois elementos, ele é também uma base para I m ( T ) :

I m T = 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   0 ,   - 1

Como a dimensão da imagem é diferente da dimensão do espaço de chegada ( R 3 ), T não é sobrejetora.

Resposta

a) N T = { 0 }

dim ⁡ N ( T ) = 0

É injetora.

b)

I m T = 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   0 ,   - 1

dim ⁡ I m T = 2

Não é sobrejetora.

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