Enunciado

Seja o operador linear

T :   R 2 → R 2 ,     T x , y = ( 2 x + y ,   4 x + 2 y )

Quais dos seguintes vetores pertencem a N ( T ) ?

a) ( 1 ,   - 2 )

b) ( 2 ,   - 3 )

c) ( - 3 ,   6 )

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para verificar se os vetores dados pertencem ao núcleo dessa transformação.

Para resolver o problema, precisamos lembrar que o núcleo corresponde ao conjunto dos vetores do domínio cuja imagem é nula, isto é, a , b ∈ N ( T ) se

T a , b = ( 0 ,   0 )

No item (a), temos que v = ( 1 , - 2 ) . Assim,

T v = T 1 , - 2 = 2 - 2 ,   4 - 4 = ( 0 ,   0 )

Portanto, v = ( 1 ,   - 2 ) pertence ao núcleo!

Passo 2

Já no item (b), temos v = ( 2 ,   - 3 ) :

T v = T 2 ,   - 3 = 4 - 3 ,   8 - 6 = 1 ,   2 ≠ ( 0 ,   0 )

Assim, vemos que v = ( 2 ,   - 3 ) não pertence ao núcleo.

Por fim, no item (c), temos v = ( - 3 ,   6 ) :

T v = T - 3,6 = ( 0 ,   0 )

Desta forma, v = - 3 ,   6 ∈ N ( T ) .

Resposta

Os vetores dos itens (a) e (c) pertencem ao núcleo.

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