Enunciado

Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( y - x ,   0 )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( y - x , 0 ) . Vamos considerar u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) . Assim,

T u + v = T a + c ,   b + d = b + d - ( a + c ) ,   0

Portanto,

T u + v = ( b - a + d - c ,   0 )

Agora note que isso pode ser quebrado em

T u + v = b - a ,   0 + ( d - c ,   0 )

E as duas parcelas são exatamente T u = ( b - a ,   0 ) e T v = ( d - c ,   0 ) . Assim,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Para testar a segunda, vamos fazer

T λ u = T λ a , b = T λ a ,   λ b

Assim, aplicando a transformação:

T λ u = λ b - λ a ,   0

Como λ aparece em todo mundo, podemos tirá-lo para fora:

T λ u = λ   b - a ,   0 = λ T ( u )

Vemos que a segunda condição também é satisfeita. Assim, T é uma transformação linear!!!

Resposta

Sim

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