Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Capítulo 4.8 - Ex. 3i

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desse livro

Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( 3 y ,   - 2 x )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( 3 y , - 2 x ) . Vamos considerar u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) . Assim,

T u + v = T a + c ,   b + d = 3   b + d ,   - 2   ( a + c )

Portanto,

T u + v = ( 3 b + 3 d ,   - 2 a - 2 c )

Agora note que isso pode ser quebrado em

T u + v = 3 b ,   - 2 a + ( 3 d ,   - 2 c )

E as duas parcelas são exatamente T u = ( 3 b ,   - 2 a ) e T v = ( 3 d ,   - 2 a ) . Assim,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Para testar a segunda, vamos fazer

T λ u = T λ a , b = T λ a ,   λ b

Assim, aplicando a transformação:

T λ u = 3 λ b ,   - 2 λ a

Como λ aparece em todo mundo, podemos tirá-lo para fora:

T λ u = λ   3 b ,   - 2 a = λ T ( u )

Vemos que a segunda condição também é satisfeita. Assim, T é uma transformação linear!!!

Resposta

Sim

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