Enunciado

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São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 2 → R 3 ,     T x , y = ( x + y ,   x ,   2 y )

Passo 1

O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.

Para achar o núcleo, temos que lembrar que x , y ∈ N ( T ) se T x , y = ( 0 ,   0 ,   0 ) :

x + y ,   x ,   2 y = ( 0 ,   0 ,   0 )

Assim,

x + y = 0 x = 0 2 y = 0

A única solução desse sistema é x = y = 0 . Portanto, apenas o vetor nulo está contido no núcleo:

N T = { 0 ,   0 }

Assim, temos que T é injetora (pois o núcleo só contém o vetor nulo) e dim ⁡ N ( T ) = 0 .

Passo 2

Agora vamos estudar a imagem de T :

T x , y = x + y ,   x ,   2 y = x   1 ,   1 ,   0 + y   ( 1 ,   0 ,   2 )

Assim, a imagem é gerada pelo conjunto

A = { 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 }

Como esse conjunto é LI e gerador, trata-se de uma base para I m ( T ) . Assim,

I m T = t   1 ,   1 ,   0 + r 1 ,   0 ,   2     t ,   r ∈ R }

Note que dim ⁡ I m T = 2 ≠ 3 = dim ⁡ R 3 , de modo que T não é sobrejetora.

Resposta

N T = { ( 0 ,   0 ) }

dim ⁡ N ( T ) = 0

I m T = t   1 ,   1 ,   0 + r 1 ,   0 ,   2     t ,   r ∈ R }

B = { 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 }

dim ⁡ I m ( T ) = 2

É injetora, mas não é sobrejetora.

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